2016届中考数学专题复习课件：专题提升十二+与圆的切线有关的证明与计算(新人教版)

专题提升(十二)与圆的切线有关的证明与计算类型之一与切线的性质有关的计算或证明【教材原型】如图Z12－1，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点，若∠P＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为_______．[浙教版九下P43作业题第1(2)题]1图Z12－1【解析】连结OC，因为PC为⊙O的切线，所以∠PCO＝90°，在Rt△OCP中，OC＝1，∠P＝30°，所以OP＝2OC＝2，所以PB＝OP－OB＝2－1＝1.【思想方法】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直．教材原型答图【中考变形】已知直线l与⊙O相切，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D.(1)如图Z12－2中①图，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；(2)如图Z12－2中②图，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．图Z12－2解：(1)如答图①，连结OC.∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l，∴∠OCD＝90°.由AD⊥l，得∠ADC＝90°，∴∠OCD＋∠ADC＝180°，∴AD∥OC，∴∠ACO＝∠DAC.在⊙O中，由OA＝OC，得∠BAC＝∠ACO，∴∠BAC＝∠DAC＝30°；①②中考变形答图(2)如答图②，连结BF.∵∠AEF为Rt△ADE的一个外角，∠DAE＝18°，∴∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝90°＋18°＝108°.在⊙O中，四边形ABFE是圆内接四边形，∴∠AEF＋∠B＝180°，∴∠B＝180°－∠AEF＝180°－108°＝72°.由AB是⊙O的直径，得∠AFB＝90°，∴∠BAF＝90°－∠B＝90°－72°＝18°.【中考预测】如图Z12－3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.(1)求证：BE＝CE；(2)求∠CBF的度数；(3)若AB＝6，求AD︵的长．图Z12－3解：(1)如答图①，连结AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC.又∵AB＝AC，∴BE＝CE；(2)∵∠BAC＝54°，AB＝AC，∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF＝90°.∴∠CBF＝∠ABF－∠ABC＝27°；中考预测答图①∴∠ABC＝12(180°－∠BAC)＝63°.(3)如答图②，连结OD，∵OA＝OD，∠BAC＝54°，∴∠BAC＝∠ODA＝54°，∴∠AOD＝180°－∠BAC－∠ODA＝72°.中考预测答图②∵AB＝6，∴OA＝12AB＝3.∴AD︵＝72π×3180＝6π5.类型之二与切线的判定有关的计算或证明【教材原型】已知：如图Z12－4，A是圆⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在圆上，且AB＝BC，∠A＝30°，求证：直线AB是⊙O的切线．(浙教版九下P38例3)图Z12－4证明：连结OB，∵OB＝OC，AB＝BC，∠A＝30°，∴∠OBC＝∠C＝∠A＝30°，∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°.∵∠ABO＝180°－(∠AOB＋∠A)＝180°－(60°＋30°)＝90°，∴AB⊥OB，∴AB为⊙O的切线．【思想方法】证明圆的切线常用两种方法“作半径，证垂直”或者“作垂直，证半径”．教材原型答图【中考变形】1．如图Z12－5，点C是⊙O的直径AB延长线上的一点，且有BO＝BD＝BC.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若半径OB＝2，求AD的长．图Z12－5解：(1)证明：连结OD，∵BO＝BC，∴BD为△ODC的中线．又∵DB＝BC，∴∠ODC＝90°.又∵OD为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；(2)∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA＝90°，∵BO＝BD＝2，∴AB＝2BD＝4，中考变形1答图∴AD＝AB2－BD2＝23.2．[2015·安顺]如图Z12－6，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E.(1)求证：直线EF是⊙O的切线；(2)求cos∠E的值．图Z12－6解：(1)证明：连结OD，CD.∵BC是直径，∴CD⊥AB，∵AC＝BC，∴D是AB的中点．又∵O为CB的中点，∴OD∥AC，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线；(2)连结BG.∵BC是直径，∴∠BGC＝90°∵AB·CD＝2S△ABC＝AC·BG，中考变形2答图在Rt△ACD中，DC＝AC2－AD2＝102－62＝8，∴BG＝AB·CDAC＝12×810＝485，∵BG⊥AC，EF⊥AC，∴BG∥EF，∴∠E＝∠CBG，∴cos∠E＝cos∠CBG＝BGBC＝2425.【中考预测】如图Z12－7，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D，E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE.(1)求AC，AD的长；(2)试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．图Z12－7解：(1)如答图①，连结BD，∵AB是直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.在Rt△ABC中，∵CD平分∠ACB，中考预测答图①AC＝AB2－BC2＝102－62＝8cm.(2)直线PC与⊙O相切．理由：如答图②，连结OC，∴AD︵＝BD︵，∴AD＝BD.∴Rt△ABD为等腰直角三角形，AD＝BD＝52cm.∴AC＝8cm，AD＝52cm；中考预测答图②∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠OCA.∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC.∵∠PEC＝∠CAE＋∠ACE，∴∠PCB＋∠ECB＝∠CAE＋∠ACE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB.∴∠PCB＝∠CAE.∴∠PCB＝∠ACO.∵∠ACB＝90°，∴∠OCP＝∠OCB＋∠PCB＝∠ACO＋∠OCB＝90°，∴OC⊥PC，∴直线PC与⊙O相切．