125(153-207)定积分及其应用

·153·第五章定积分及其应用§1.1定积分及应用内容网络图§1.2内容提要与释疑解难定积分的概念是由求曲边梯形面积，变力作功，已知变速直线运动的速度求路程，密度不均质线段的质量所产生。定义设函数f(x)在闭区间[a,b]上有定义，在闭区间[a,b]内任意插入n-1个分点将[a,b]分成n个小区间],[iixxx，记),,2,1(nixxxiii，],[1iixx，作乘积iixf)(（称为积分元），把这些乘积相加得到和式niiixf1)(（称为积分和式）设nixi1:max，若定积分及其应用定积分定义可积的条件性质计算方法中值定理13条基本性质性质变上限积分求导定理牛顿一莱布尼兹公式基本方法变量代换凑微分分部积分换元法应用微元法几何应用平面图形面积旋转体及一般立体的体积平面曲线弧长物理应用质量重心坐标转动惯量引力压力广义积分第一类广义积分（区间无界）第二类广义积分（被积函数无界）·154·niiixf10)(lim极限存在唯一且该极限值与区是[a,b]的分法及分点i的取法无关，则称这个唯一的极限值为函数f(x)在[a,b]上的定积分，记作dxxf)(ba，即iinibaxfdxxf)()(1lim0.否则称f(x)在[a,b]上不可积.注1：由牛顿莱布尼兹公式知，计算定积分与原函数有关，故这里借助了不定积分的符号。注2：若dxxfba)(存在，区间[a,b]进行特殊分割，分点i进行特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等，但反之不成立，这种思想在考题中经常出现，请读者要真正理解。注3：定积分是否存在或者值是多少只与被积函数式和积分区间有关与积分变量用什么字母表示无关，即.)()()(duufdttfdxxfbababa定积分的几何意义:若f(x)在[a,b]上可积，且,0)(xf则dxxfba)(表示曲线)(xfy与直线bxaxy,,0所围成的曲边梯形的面积.同样，变力所作的功dxxfwba)(（其中f(x)是变力）变速直线运动的路程dttvSba)(（)(tv是瞬时速度），密度不均质直线段[a,b]的质量dxxMba)(（其中)(x是线密度）。规定.0)(,)()(dxxfdxxfdxxfaaabba定性若函数f(x)在闭区间[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上有界，反之不成立。例上有界但不可积在为无理数为有理数]1,0[,,0,,1)(xxxD.事实上，因为不论把[0，1]分割得多么细，在每个小区间],[1iixx中，总能找到有理数'i，无理数i，知,00)(,11)(1lim0lim01lim01lim0'lim0niiiniiniiixDxxD知niiixD1lim0)(不存在。定理若f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积.定理若f(x)在闭区间[a,b]上只有有限个间断点且有界，则f(x)在[a,b]上可积.定理若f(x)在闭区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积定积分的性质性质1.1abdxdxbaba·155·性质2（线性运算法则）设)(),(xgxf在[a,b]上可积，对任何常数,则dxxgdxxfdxxgxfbababa)()()]()([.该性质用于定积分的计算与定积分的证明.性质3（区间的可加性），若f(x)在以a,b,c为端点构成的最大区间上可积，则不论a,b,c顺序如何，有.)()()(dxxfdxxfdxxfbccaba该性质用于计算分段函数的定积分与定积分的证明.性质4若f(x)在[a,b]上可积且,0)(xf则0)(dxxfba.性质5若f(x),g(x)在[a,b]上可积且),()(xgxf则.)()(dxxgdxxfbaba性质6若f(x)在[a,b]上连续，,0)(xf且f(x)0则.0)(dxxfba性质7若f(x),g(x)在[a,b]上连续且),()(xgxf但)()(xgxf,则dxxgdxxfbaba)()(.性质8若f(x)在[a,b]上可积，则dxxfdxxfbaba|)(||)(|.性质9若f(x)在[a,b]上可积，m,M是f(x)在区间[a,b]上的最小值与最大值，则).()()(abMdxxfabmba性质4、5、6、7、8、9主要用于定积分不等式的证明及不通过定积分的计算，估计定积分值的范围.性质10（积分中值定理）若f(x)在闭区间[a,b]上连续，则至少存在一点],[ba，使).)(()(abfdxxfba而abdxxffba)()(称为f(x)在区间[a,b]上的平均值，即闭区间[a,b]上连续函数f(x)的平均值是.)(abdxxfba注：这里的],[ba与),(ba是不同的。性质11（推广的积分中值定理），设)(),(xgxf在[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上不变号，则至少存在一点],[ba,使.)()()()(dxxgfdxxgxfbaba柯西----许瓦尔兹（Cauchy—schwarz）·156·性质12设函数f(x)，g(x)在[a,b]上连续，则（1）.)()(])()([222dxxgdxxfdxxgxfbababa（2）.}])([])({[)]()([22122122dxxgdxxfdxxgxfbababa性质13变上限积分求导定理设f(x)连续，)(),(xvxu可导，则).('))(()('))(()()()(xvxvfxuxufdttfdxdxuxv§1.3解题基本方法与技巧一、有关定积分命题的证明利用积分中值理，定积分的13条性质，规定,0)(,)()(dxxfdxxfxfaaabba尤其是变上限积分求导定理及微分中值定理，可证明涉及到定积分的有关命题，包括方程根的存在性，适合某种条件的存在性及定积分的不等式等，证明方法与技巧与第三章我们介绍的证明思想完全类似。1．方程根的存在性例1设函数f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且).0()(3132fdxxf证明在（0。1）内存在一点，使0)('f.证由积分中值定理知，在]1,32[上存在一点c，使).0()()(313)(3132fcfcfdxxf且1320c，由f(x)在(0，c)上连续，在[0，c]内可导，f(0)=f(c)，由罗尔定理知至少存在一点),1,0(),0(c使.0)('f例2设函数f(x)在],0[上连续，且0cos)(,0)(00xdxxfdxxf，试证：在),0(内至少存在两个不同的21,，使.0)()(21ff证法一令,0,)()(0xdttfxFx则有0)(,0)0(FF，又因为xdxxFxxFxxdFxdxxfsin)(cos)()(coscos)(00000xdxxFsin)(0,所以存在),0(，使.0sin)(F因为若不然，则在),0(内或F（x）sinx恒为正或F(x)sinx恒为负，均与0sin)(0dxxxF矛盾.但当),0(时，,0sin知.0)(F再对·157·F(x)在区间],[],,0[上分别应用罗尔定理，知至少存在),(),,0(21，使,0)(')('21FF即.0)()(21ff证法二由0)(0dxxf知，存在).0(1，使0)(1f，因若不然，则在),0(内或f(x)恒为正，或f(x)恒为负，均于0)(0dxxf矛盾.若在),0(内f(x)=0仅有一个实根x，则由0)(0dxxf知，f(x)在),0(1内与),(1内异号，不妨设在),0(1内f(x)0，在),(2内f(x)0，于是再由0cos)(0xdxxf与0)(0dxxf及cosx在],0[上单调性知dxxxfdxxfxdxxf)cos)(cos()(coscos)(0100100)cos)(cos()cos)(cos(11011dxxxfdxxxf，得出矛盾，从而知，在),0(内除1处，0)(,0)(1xff至少还有另一实根.故知存在),0(,21，.0)()(,2121ff使例3设f(x)在[a,b]上连续，且对于任意的连续函数)(x。都有,0)()(dxxxfba证明在[a,b]上.0)(xf证用反证法，假设0)(],,[xfbax，则至少存在一点],,[0bax使,0)(0xf不妨设,0)(),,(00xfbax由f(x)在x0处连续，知,0)()(0lim0xfxfxx根据保号性知，存在].[0)(),,(],[21021xxxxfbaxx且由于)(x可取任意的连续函数，取,.,0,)()(,,0)(22122211xbxxxxxxxxxxax显然)(x在[a,b]上连续，),(21xxx时，0)(x，于是dxxfdxxxfdxxfdxxxfbxxxxaba0)()()(0)()()(22110)()(21dxxxfxx与题设条件相矛盾，故在.0)(,],[xfba上例4设f(x)在[a,b]上连续，,0)(2dxxfba证明],[bax时，.0)(xf·158·证用反证法，假设],[bax时0)(xf，即存在],[0bax时，0)(,0)(020xfxf知，不妨设),(0bax，由f(x)在[a,b]上连续，则在x0处也连续，有,02)()()(02022lim0xfxfxfxx由保号性存在0，当),(],[00bacxxx时，.02)()(022xfxf于是dxxfdxxfdxxfdxxfbxxxxaba)()()()(22220000.0)(2)(2)()(0202022000000xfdxxfdxxfdxxfxxxxxx与题目条件矛盾，故假设不成立，所以].,[,0)(baxxf例5设f(x)在[a,b]上连续，且.)(1)()(,0)(dttfdttfxFxfxbxa又证明F(x)在(a,b)内有且仅有一个根。证由,0)(1)(1)()(dttfdttfdttfaFbaabaa.0)()(1)()(dttfdttfdttfbFbabbba且F（x）在[a,b]上连续，由根的存在定理知至少存在一点),(ba，使.0)(F由于02)(1)(2)(1)()('xfxfxfxftF，知F(x)在[a,b]上严格递增，故F(x)在(a,b)内仅有一根。2．适合某种条件的存在性例6设)(xf在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，且满足),1()()1(110kdxxfxekfxk证明至少存在一点)1,0(,使).()1()('1ff证由)()1(110xfxekfxk及积分中值定理，知至少存在一点)1,0[]1,0[kc，使得)1(1)(1)()()1(1111110fecfcekcfeckdxxfxekfccxR·159·令),()(1xfxexx由)(x在[c,1]上连续，在（c,1）内可导)1(),(c。由罗尔定理知，至少存在一点)1,0()1,(c，使得0)('，由),(')()()('111