[精华] 高考数学基础知识、常见结论详解

第1页高考数学基础知识、常见结论详解(第一稿)第一章集合与命题一、理解集合中的有关概念1.集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性；集合元素的互异性：如：已知集合A{1,a}，B{a,a2}，且AB，求实数a。2.集合与元素的关系用符号，表示；3.常用数集的符号表示：自然数集_____，整数集_____，正整数集_____，负整数集_____，有理数集_____，正有理数集_____，负有理数集_____，实数集_____，正实数集_____，负实数集_____，复数集_____；4.常用数的分类奇数偶数整数(0是偶数)合数质数自然数1(1既不是质数也不是合数)5.集合的表示法：列举法，描述法，韦恩图；注意：区分集合中元素的形式：如：}12|{2xxyxA，}12|{2xxyyB，}12|),{(2xxyyxC，}12|{2xxxxD，}12|),{(2ZyxxxyyxE、，，xyzxxyzF，122。6.子集、真子集、集合相等；7.空集是指不含任何元素的集合。(注意：}0{、和}{的区别；0与三者间的关系)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。注意：条件为BA，在讨论的时候不要遗忘了A的情况。如：}012|{2xaxxA，如果RA，求a的取值范围。二、集合间的关系及其运算1.符号“，”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线(面)的关系；符号“，”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系；2.}|{BxAxxBA且；}|{BxAxxBA或；}|{AxIxxA且；3.对于任意集合BA、，则：(1)ABBA_____；AAA_____；_____A；ABA_____；BBA_____；(2)ABBA_____；AAA_____；AA_____；ABA_____；BBA_____；(3)BABA_____；(4)ABA__________；ABA__________；IBA__________；BA__________；BA__________；__________BA。三、集合中元素的个数的计算：1.若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为__________，所有非空子集的个数是__________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是__________；2.韦恩图的运用。如：设全集kkxxI，，220{N}，若}14,12{BA，}18,16,4,2{BA，第2页BA，求集合A、B。四、四种命题形式如果用和分别表示原命题的条件和结论，用和分别表示和的否定，那么四种命题的形式就是：原命题：如果，那么；逆命题：如果，那么；否命题：如果，那么；逆否命题：如果，那么。原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的__________；(有时很难直接判断原命题的真假，可以考虑判断其逆否命题的真假)如：“sinsin”是“”的__________条件。五、反证法：当证明“如果，那么”感到困难时，改证它的等价命题“如果，那么”成立。步骤：(1)假设结论反面成立；(2)从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；(3)由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。矛盾的来源：(1)与原命题的条件矛盾；(2)导出与假设相矛盾的命题；(3)导出一个恒假命题。适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。正面词语等于大于小于是都是至多有一个否定正面词语至少有一个任意的所有的至多有n个任意两个否定第二章不等式一、实数大小与顺序关系1.abab0；2.abab0；3.abab0；4.a0且b0ab0|a0且b0ab0；5.a、b同号ab0|a、b异号ab0。6.若a和b都是正数，则。；；babababababa111注意：“特值法”是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。二、不等式的性质1.对称性：abba2.传递性：ab，bcac；3.加法单调性：abacbc(abacbc)；4.乘法单调性：ab，c0acbc；ab，c0acbc；[注意]c0的特殊情况。5.同向相加(可加性)：ab，cdacbd；6.异向相减(可减性)：ab，cdacbd。7.同向相乘：ab0，cd0acbd0(ab0，cd0acbd0)；8.倒数改向：ab，a、b同号a1b1；ab，a、b异号a1b1；互逆互逆互否互否互逆否第3页9.乘方性质：ab00nnban(N，n1)；10.开方性质：ab00nnban(N，n1)。注意：对于9.、10.，当n为奇数时，只要ab即可nnba及nnba，不再需要大于0的条件。三、基本不等式1.若a、bR，则abba222(当且仅当ab时等号成立)；2.若a、bR，则abba2(当且仅当ab时等号成立)。注意：(i)应用公式的条件；(ii)取等号的条件；(iii)广义地理解公式中的字母a、b。四、几个重要的不等式变形1.若a、bR，则2)(222baba(当且仅当ab时等号成立)；2.若a、bR，则4)(2baab(当且仅当ab时等号成立)；3.若a、bR，则2211222babaabba(当且仅当ab时等号成立)。当pab(常数)，当且仅当__________时，__________；当sba(常数)，当且仅当__________时，__________；基本应用：求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。常用的方法为：拆、凑、平方；如：①函数)21(4294xxxy的最小值__________；②若正数x、y满足12yx，则yx11的最小值__________；(“1”的妙用)③若正数x、y满足1121yx，则xy的最小值__________。五、绝对值不等式：||||||||||||||babababa。注意：上述“＝”成立的条件；六、证明不等式常用方法：1.比较法：①作差比较：BABA0；注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。②作商比较：若a和b都是正数，则。；；babababababa1112.综合法：由因导果。3.分析法：执果索因。基本步骤：要证……，只需证……，只需证……4.反证法：正难则反。5.换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。如：已知222ayx，可设sincosayax，；已知122yx，可设sincosryrx，(10r)；已知12222byax，可设sincosbyax，；第4页已知12222byax，可设byax，sectg；6.构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；七、不等式的解法：1.常见不等式解法类型解集(解法)一元一次不等式axba0abxxa0abxxa0b0b0Raxba0abxxa0abxxa0b0Rb0一元二次不等式b24ac，x1、x2是方程ax2bxc0(a0)的两个根，且x1x2ax2bxc0(a0)0{x|xx2或xx1}0abxRxx2且0Rax2bxc0(a0)0{x|x1xx2}00一元一次不等式组()xx{x|x}xx{x|x}xx{x|x}xx一元n次不等式a0xna1xn1…an0a0xna1xn1…an0(a00，nN，n3)a0xna1xn1…an0有n个实根“数轴标根法”求解分式不等式0)()(xgxff(x)g(x)00)()(xgxff(x)g(x)00)()(xgxff(x)g(x)0且g(x)0第5页0)()(xgxff(x)g(x)0且g(x)0绝对值不等式|x|cc0{x|xc或xc}c0{x|xR且x0}c0R|x|cc0xcxc}c0|f(x)||g(x)|[f(x)]2[g(x)]2|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)|f(x)||g(x)|a“零点分段法”求解指数不等式a1af(x)ag(x)f(x)g(x)af(x)ag(x)f(x)g(x)0a1af(x)ag(x)f(x)g(x)af(x)ag(x)f(x)g(x)对数不等式a1logaf(x)logag(x))()(0)(0)(xgxfxgxflogaf(x)logag(x))()(0)(0)(xgxfxgxf0a1logaf(x)logag(x))()(0)(0)(xgxfxgxflogaf(x)logag(x))()(0)(0)(xgxfxgxf注意：解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论。如果遇到下述情况则一般需要讨论：(1)不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性；(2)在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论；(3)在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时要分析)，比较两个根的大小，设根为21xx、(或更多)但含参数，要分21xx、21xx、21xx讨论。2.一元二次不等式的解集与相应一元二次方程的根以及二次函数的图像的关系b24ac一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两个相异实数根aacbbx2422,1有两个相等实数根abxx221没有实数根第6页一元二次不等式的解集ax2bxc0(a0)(,x1)(x2,),a2ba2b,Rax2bxc0(a0)(x1,x2)二次函数yax2bxc(a0)的图像3.(1)不等式ax2bxc0的解集是全体实数000000且：且：aacba；(2)不等式ax2bxc0的解集是全体实数000000且：且：aacba。注意：a0的情况千万不要遗漏！如：函数862kxkxy的定义域是R，则k的取值范围是__________。第三章复数初步一、理解复数、虚数、纯虚数、模、共轭复数、实部(Rez)、虚部(Imz)的概念；注意：纯虚数的虚部0！二、熟练掌握、灵活运用以下结论：1.abicdi(a、b、c、dR)ac且bd2.复数是实数的条件：(1)zabiRb0(a、bR)；(2)zRzz；(3)zRz20；3.复数是纯虚数的条件：(1)zabi是纯虚数a0且b0(a、bR)；(2)z是纯虚数z＋z＝0(z0)；(3)z是纯虚数z20；4.复数的代数形式及其运算：设z1abi，z2cdi(a、b、c、dR