江苏南京市一中2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题含答案

-1-江苏南京市一中2016—2017学年度高一下学期期末考试数学试题注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名和考试号填涂在答题卡上指定的位置．3．答题时，必须用黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上指定的位置，在其他位置作答一律无效．4．本卷考试结束后，上交答题卡．参考公式：锥体的体积公式：V锥体＝13Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1．直线y＝3x－2的倾斜角大小为．2．若数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝2an，n∈N*，则a6的值为．3．直线3x－4y－12＝0在x轴、y轴上的截距之和为．4．在△ABC中，若a＝3，b＝2，A＝120°，则B的大小为．5．不等式x－1x＋2＜0的解集为．6．函数f(x)＝sinx－cosx的最大值为．7．若函数y＝x＋9x＋2，x∈(－2，＋∞)，则该函数的最小值为．8．如图，若正四棱锥P—ABCD的底面边长为2，斜高为5，则该正四棱锥的体积为．9．若sin(θ＋π3)＝513，θ∈(π6，2π3)，则cosθ的值为．10．已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序．．．．号．为．①若a⊥c，b⊥c，则a∥b；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；DPABC（第8题）-2-③若a⊥α，b⊥α，则a∥b；④若a⊥α，a⊥β，则α∥β．11．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn．若S3，S2，S4成等差数列，则实数q的值为．12．已知关于x的不等式(x－1)(x－2a)＞0(a∈R)的解集为A，集合B＝(2，3)．若BA，则a的取值范围为．13．已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝2n，n∈N*．若16λ1＋an＋19≤3n对任意n∈N*都成立，则实数λ的取值范围为．14．若实数x，y满足x＞y＞0，且1x－y＋8x＋2y＝1，则x＋y的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知sinα＝35，α∈(π2，π)．（1）求sin(π6－α)的值；（2）求tan2α的值．16．（本小题满分14分）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA＝CB，M，N，P分别为AB，A1C1，BC的中点．求证：（1）C1P∥平面MNC；（2）平面MNC⊥平面ABB1A1．17．（本小题满分14分）B1NBAA1MC1CP（第16题）-3-已知三角形的顶点分别为A(－1，3)，B(3，2)，C(1，0)．（1）求BC边上高的长度；（2）若直线l过点C，且在l上不存在到A，B两点的距离相等的点，求直线l的方程．18．（本小题满分16分）如图，在圆内接△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足acosC＋ccosA＝2bcosB．（1）求B的大小；（2）若点D是劣弧AC⌒上一点，AB＝3，BC＝2，AD＝1，求四边形ABCD的面积．19．（本小题满分16分）某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画．如图，该电梯的高AB为4米，它所占水平地面的长AC为8米．该广告画最高点E到地面的距离为10.5米，最低点D到地面的距离6.5米．假设某人的眼睛到脚底的距离MN为1.5米，他竖直站在此电梯上观看DE的视角为θ．ABDC（第18题）-4-（1）设此人到直线EC的距离为x米，试用x表示点M到地面的距离；（2）此人到直线EC的距离为多少米时，视角θ最大？20．（本小题满分16分）已知等差数列{an}和等比数列{bn}，其中{an}的公差不为0．设Sn是数列{an}的前n项和．若a1，a2，a5是数列{bn}的前3项，且S4＝16．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）若数列{4Sn－1an＋t}为等差数列，求实数t；（3）构造数列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，…，ak，b1，b2，…，bk，…．若该数列前n项和Tn＝1821，求n的值．θDEMCBAN（第19题）-5-参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．60°2．323．14．45°5．(－2，1)6．27．48．839．53－122610．③④11．－212．(－∞，1]13．(－∞，－8]14．253二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）因为sinα＝35，α∈(π2，π)，所以cosα＝－1－sin2α＝－45，…………………3分所以sin(π6－α)＝sinπ6cosα－cosπ6sinα…………………5分＝12×(－45)－32×35＝－4＋3310．…………………7分（2）因为tanα＝sinαcosα＝－34，…………………9分所以tan2α＝2tanα1－tan2α…………………12分＝2×(－34)1－(－34)2＝－247．…………………14分16．证明：（1）方法1连结MP．-6-因为M，P分别是AB，BC的中点，所以MP∥＝12AC．…………………2分又因为在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥＝A1C1，且N是A1C1的中点，所以MP∥＝C1N，所以四边形MPC1N是平行四边形，所以C1P∥MN．…………………4分又因为C1P平面MNC，MN平面MNC，所以C1P∥平面MNC．…………………6分方法2连结AC1，与CN交于点D，连结AP，与CM交于点E，连结DE．在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1，所以∠ACD＝∠C1ND．又因为∠ADC＝∠C1DN，所以△ACD∽△C1ND．又因为N为A1C1的中点，所以ADDC1＝ACNC1＝2．……………2分在△ABC中，E为中线AP，CM的交点，所以E为△ABC的重心，所以AEEP＝2，所以ADDC1＝AEEP，所以ADAC1＝AEAP，所以DE∥C1P．…………………4分又因为C1P平面MNC，DE平面MNC，所以C1P∥平面MNC．…………………6分（2）在△ABC中，因为CA＝CB，M是AB的中点，所以CM⊥AB．…………………8分直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1B⊥平面ABC，因为CM平面ABC，所以B1B⊥CM．…………………10分又因为B1B∩AB＝B，B1B，AB平面ABB1A1，所以CM⊥平面ABB1A1，…………………12分B1NBAA1MC1CP（第16题）B1NBAA1MC1CP（第16题）DE-7-又CM平面MNC，所以平面MNC⊥平面ABB1A1．…………………14分17．解：（1）因为kBC＝2－03－1＝1，…………………2分所以直线BC的方程是y＝x－1，即x－y－1＝0．…………………4分所以A到直线BC的距离为d＝|－1－3－1|12＋(－1)2＝522，即BC边上高的长度为522．…………………6分（2）方法1①若直线l的斜率不存在，则l的方程为x＝1．假设l上存在一点P(1，y0)到A，B两点的距离相等，所以AP＝BP，即[1－(－1)]2＋(y0－3)2＝(1－3)2＋(y0－2)2，解得y0＝52，即存在点P(1，52)到A，B两点的距离相等，所以此时直线l不符合题意．…………………8分②若直线l的斜率存在，设l的方程为y＝k(x－1)．假设l上存在一点P(x0，k(x0－1))到A，B两点的距离相等，所以AP＝BP，即[x0－(－1)]2＋[k(x0－1)－3]2＝(x0－3)2＋[k(x0－1)－2]2，…………………10分化简得(8－2k)x0－3＋2k＝0，(*)(Ⅰ)若k＝4，该方程(*)无解，即不存在点P到A，B两点的距离相等，所以此时直线l符合题意．此时直线l的方程为y＝4(x－1)，即y＝4x－4．………………12分(Ⅱ)若k≠4，则x0＝2k－32k－8，即点P(2k－32k－8，5k2k－8)，所以此时直线l不符合题意．综上，直线l的方程为y＝4x－4．…………………14分方法2kAB＝3－2－1－3＝－14．…………………8分因为l上不存在点到A，B两点的距离相等，所以l⊥AB，……………10分所以kl＝4，…………………12分-8-所以直线l的方程为y＝4(x－1)，即y＝4x－4．…………………14分18．解：（1）方法1设外接圆的半径为R，则a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入得2RsinAcosC＋2RsinCcosA＝2×2RsinBcosB，…………………2分即sinAcosC＋sinCcosA＝2sinBcosB，所以sinB＝2sinBcosB．因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以cosB＝12．…………………4分因为0＜B＜π，所以B＝π3．…………………6分方法2根据余弦定理，得a·a2＋b2－c22ab＋c·b2＋c2－a22bc＝2b·cosB，……………2分化简得cosB＝12．…………………4分因为0＜B＜π，所以B＝π3．…………………6分（2）在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝9＋4－2×3×2×12＝7，所以AC＝7．…………………8分因为A，B，C，D四点共圆，所以∠ADC＝2π3．…………………10分在△ACD中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC，代入得7＝1＋CD2－2·CD·(－12)，所以CD2＋CD－6＝0，解得CD＝2或CD＝－3（舍）．…………………14分所以SABCD＝S△ABC＋S△ACD＝12AB·BCsin∠ABC＋12AD·CDsin∠ADC＝12×3×2×32＋12×1×2×32＝23．…………………16分19．解：（1）作MG⊥CE交于点G，作NH⊥AC交于H，则CH＝GM＝x．在Rt△BAC中，因为AB＝4，AC＝8，所以tan∠BCA＝12，-9-所以NH＝CH·tan∠BCA＝x2，…………………2分所以MH＝MN＋NH＝3＋x2．……………4分（2）因为MH＝GC，所以DG＝DC－GC＝DC－MH＝5－x2，EG＝EC－GC＝EC－MH＝9－x2．在Rt△DGM中，tan∠DMG＝DGGM＝5－x2x，在Rt△EGM中，tan∠EMG＝EGGM＝9－x2x，…………………6分所以tanθ＝tan∠EMD＝tan(∠EMG－∠DMG)＝tan∠EMG－tan∠DMG1＋tan∠EMG·tan∠DMG＝9－x2x－5－x2x1＋9－x2x·5－x2x＝16x5x2－28x＋180…………………10分＝165x－28＋180x（0＜x≤8）．由x＞0，得5x＞0，180x＞0，所以5x－28＋180x≥25x·180x－28＝32，所以tanθ＝165x－28＋180x≤12．…………………12分当且仅当5x＝180x，即x＝6时取“＝”，且6∈(0，8]．…………14分因为y＝tanθ在区间(0，π2)上是单调增函数，所以当x＝6米时，tanθ取最大值12，此时视角θ取最大值．…………15分答：此人到直线EC的距离为6米时，视角θ最大．…………16分20．解：（1）设等差数列{an}的公差为d．因为a1，a2，a5是数列{bn}的前3项，且S4＝16，θDEMCBAN（