1978-1982年高考数学试题全国卷

15903153361091978年试题注意事项:1.理工科考生要求除作（一）--（四）题和（七）题外,再由（五）、（六）两题中选作一题.文科考生要求作（一）--（四）题,再由（五）、（六）两题中选作一题;不要求作第（七）题.2.考生解题作答时,不必抄题.但须准确地写明题号,例如（一）2、（五）等.（一）1.分解因式:x2-4xy+4y2-4z2.2.已知正方形的边长为a.求侧面积等于这个正方形的面积、高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积.（二）已知方程kx2+y2=4,其中k为实数.对于不同范围的k值,分别指出方程所代表图形的类型,并画出显示其数量特征的草图.（三）（如图）AB是半圆的直径,C是半圆上一点,直线MN切半圆于C点,AM⊥MN于M点,BN⊥MN于N点,CD⊥AB于D点.求证:1)CD=CM=CN;2)CD2=AM·BN.（四）已知log189=a(a≠2),18b=5.求log3645.（五）（本题和第（六）题选作一题）已知△ABC的三内角的大小成（六）已知α、β为锐角,且3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0.（七）（文科考生不要求作此题）已知函数y=x2+(2m+1)x+m2-1（m为实数）.(1)m是什么数值时,y的极值是0?(2)求证:不论m是什么数值,函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线l1上.1590315336109画出m=-1、0、1时抛物线的草图,来检验这个结论.(3)平行于l1的直线中,哪些与抛物线相交,哪些不相交?求证:任一条平行于l1而与抛物线相交的直线,被各抛物线截出的线段都相等.1978年试题答案（一）1.解:原式=(x2-4xy+4y2)-4z2=(x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z).2.解:设直圆柱体的底面半径为r.则底面周长2πr=a.3.解:∵lg(2+x)≥0,∴2+x≥1.x≥-1为所求的定义域.（二）解:（注意:只要求考生作出全面而正确的分析,不要求写法和本题解完全一致.）1590315336109（三）证明:1)连CA、CB,则∠ACB=90°.∠ACM=∠ABC（弦切角等于同弧上的圆周角）,∠ACD=∠ABC（同角的余角相等）,∴∠ACM=∠ACD.∴△ACM≌△ADC.∴CM=CD.同理CN=CD.∴CD=CM=CN.2)∵CD⊥AB,∠ACB=90°,∴CD2=AD·DB（比例中项定理）.由1),可知AM=AD,BN=BD,∴CD2=AM·BN.（四）解法一:∵log189=a,∴18a=9.又18b=5,1590315336109∴45=9×5=18a·18b=18a+b,设log3645=x,则36x=45=18a+b,∴log1836x=log1818a+b但36=2×18=4×9,∴log18(2×18)=log18(22×9).即1+log182=2log182+log189=2log182+a.∴log182=1-a.以下解法同解法一.（五）解:A+B+C=180°,又2B=A+C.∴3B=180°,B=60°,A+C=120°.1590315336109以下同证法一.1590315336109（七）解:(1)用配方法得此即各抛物线顶点坐标所满足的方程.它的图形是一条直线,方程中不当m=-1、0、1时,x,y之间的函数关系为分别作出它们的图象P1、P2、P3.它们的顶点都在直线l1上.(3)设l:x-y=a为任一条平行于l1的直线.与抛物线y=x2+(2m-1)x+m2-1方程联立求解.消去y,得x2+2mx+m2-1+a=0.1590315336109∴(x+m)2=1-a.因而当1-a≥0即a≤1时,直线l与抛物线相交,而1-a0即a1时,直线l与抛物线不相交.即直线l与抛物线两交点横坐标为因直线l的斜率为1,它的倾斜角为45°.∵直线l被抛物线截出的线段等于而这与m无关.因此直线l被各抛物线截出的线段都相等._15903153361091979年试题理工农医类1.若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证:x,y,z成等差数列.2.化简:3.甲、乙二容器内都盛有酒精.甲有公斤υ1公斤，乙有υ2公斤.甲中纯酒精与水(重量)之比为m1:n1,乙中纯酒精与水之比为m2:n2.问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少?4.叙述并且证明勾股定理.5.外国般只,除特许者外,不得进入离我海岸线D以内的区城.设A及B是我们的观测站,A及B间的距离为S,海岸线是过A,B的直线.一外国船在P点.在A站测得∠BAP=α,同时在B站测得∠ABP=β.问α及β满足什么简单的三角函数值不等式,就应当向此未经特许的外国船发出警告,命令退出我海城?6.设三棱锥V-ABC中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=直角.求证:△ABC是锐角三角形.7.美国的物价从1939年的100增加到四十年后1979年的500.如果每年物价增长率相同,问每年增长百分之几?(注意:自然对数1nx是以e=2.718…为底的对数.本题中增长率x0.1,可用自然对数的近似公式:ln(1+x)≈x.取lg2=0.3,ln10=2.3来计算).8.设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE的延长线相交于点A,与CF的延长线相交于点B.9.试问数列1590315336109前多少项的和的值是最大?并求出这最大值.(这里取lg2=0.301)10.设等腰△OAB的顶角为2θ,高为h.(1)在△OAB内有一动点P,到三边OA,OB,AB的距离分别为│PD│,│PF│,│PE│并且满足关系│PD│·│PF│=│PE│2.求P点的轨迹.(2)在上述轨迹中定出点P的坐标,使得│PD│+│PE│=│PF│.1979年试题(理工农医类)答案1.证法一:(z-x)2-4(x-y)(y-z)=z2-2zx+x2+4zx-4xy-4yz+4y2=(x+z)2-2·2y(z+x)+4y2=(z+x-2y)2=0,∴z+x-2y=0即z-y=y-x,所以,x,y,z成等差数列,证法二：令x-y=a,y-z=b,则x-z=x-y+y-z=a+b.(z-x)2-4(x-y)(y-z)=(a+b)2-4ab=(a-b)2=0.∴a=b.即x-y=y-z,即y-x=z-y.所以,x,y,z成等差数列.3.解:1590315336109甲乙共含纯酒精甲乙共含水混合后,纯酒精与水之比为〔m1v1(m2+n2)+m2v2(m1+n1)〕:〔n1v1(m2+n2)+n2v2(m1+n1)〕.4.解:略.(参考一般教科书)5.解:自P向直线AB作垂线PC,垂足为C.设PC=d.在直角三角形PAC中,AC=d·ctgα.在直角三角形PBC中,BC=d·ctgβ.∴S=AC+BC=d(ctgα+ctgβ).当d≤D,即时,应向外国船发出警告.6.证法一:设VA=a,VB=b,VC=c,AB=p,BC=q,CA=r.于是p2=a2+b2,q2=b2+c2,r2=c2+a2.由余弦定理,所以∠CAB为锐角.1590315336109同理,∠ABC,∠BCA也是锐角.证法二:作VD⊥BC,D为垂足,因VA垂直于平面VBC,所以VA⊥BC又BC⊥VD,所以BC垂直于平面VAD,从而BC⊥AD即在△ABC中,A在BC边上的垂足D介于B和C之间,因此,∠B和∠C都是锐角.同理可证∠A也是锐角.7.解:年增长率x应满足100(1+x)40=500,即(1+x)40=5,取自然对数有40ln(1+x)=ln5.答：每年约增长百分之四.8.证法一:连结CD.因∠CFD=90°,所以CD为圆O的直径.由于AB切圆O于D,∴CD⊥AB.又在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,∴AC2=AD·AB,BC2=BD·BA.1590315336109证法二:由△BDF∽△ABC,得9.解法一:这个数列的第k项(任意项)为所以这个数列是递减等差列,且其首项为2.要前k项的和最大,必须前k项都是正数或0,而从第k+1项起以后都是负数.因此,k应适合下列条件:解此不等式组:由(1)得k≤14.2由(2)得k13.2因k是自然数,所以k=14,即数列前14项的和最大.取k=14.前14项的和1590315336109解法二:这数列的第k项(任意项)为时,S有最大值.因k表示项数,是自然数,在此,=2-1.95650,由此可知这数列的前14项都是正数,从第15项起以后各项都是负数.所以应取k=14,即数列前14项的和为最大,其值为10.解法一:(1)设坐标系如图，点P的坐标为(x,y).由题设x0.直线OA的方程为y=xtgθ,直线OB的方程为y=-xtgθ,1590315336109直线AB的方程为x=h.又因为P点在∠AOB内,于是由条件│PD│·│PF│=│PE│2得x2sin2θ-y2cos2θ=(h-x)2,(1)即x2cos2θ-2hx+y2cos2θ+h2=0.除以cos2θ(0≠)得(2)由条件│PD│+│PE│=│PF│得xsinθ-ycosθ+h-x=xsinθ+ycosθ,即x+2ycosθ=h.(Ⅱ)由(1),(Ⅱ)得x2sin2θ-y2cos2θ=4y2cos2θ∴5y2cos2θ=x2sin2θ,1590315336109由│PD│+│PE││PF│可知y0,所以这里右端取正号.代入(Ⅱ)得解法二:设OP与正x轴的夹角为α,则│PD│=│OP│sin(θ-α)=│OP│(sinθcosαθ-cosθsinα)=xsinθ-ycosθ,│PF│=│OP│sin(θ+α)=│OP│sinθcosαθ+cosθsinα=xsinθ+ycosθ.以下与上面的解法一相同。15903153361091980年试题(理工农医类)一、将多项式x5y-9xy5分别在下列范围内分解因式:(1)有理数范围;(2)实数范围(3)复数范围.二、半径为1、2、3的三个圆两两外切.证明:以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形.三、用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点.(a、b、N都是正数,a≠1,b≠1)五、直升飞机上一点P在地平面M上的正射影是A.从P看地平面上一物体B(不同于A),直线PB垂直于飞机窗玻璃所在的平面N(如图).证明:平面N必与平面M相交,且交线l垂直于AB.(1)写出f(x)的极大值M、极小值m与最小正周期T;(2)试求最小的正整数k,使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时,函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m.七、CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高,已知△ACD、△CBD、△ABC的面积成等比数列,求∠B(用反三角函数表示).九、抛物线的方程是y2=2x,有一个半径为1的圆,圆心在x轴上运动.问这个圆运动到什么位置时,圆与抛物线在交点处的切线互相垂直.1590315336109附加题问a、b应满足什么条件,使得对于任意m值来说,直线(L)与椭圆(E)总有公共点.1980年试题(理工农医类)答案二、证明:设⊙O1、⊙O2、⊙O3的半径分别为1、2、3.因这三个圆两两外切,故有O1O2=1+2=3,O2O3=2+3=5,O1O3=1+3=4,根据勾股弦定理的逆定理,或余弦定理,△O1O2O3为直角三角形.三、证明:取△ABC最长的一边BC所在的直线为x轴,经过A的高线为y轴,设A、B、C的坐标分别为A(0,a)、B(b,0)、C(c,0),根据所选坐标系,如图,有a0,b0,c0.1590315336109解(1)、(2),得:(b-c)x=0.∵b-c≠0,∴x=0.这就是说,高线CE、BD的交点的横坐标为0,即交点在高线AO上.因此,三条高线交于一点.四、证法一:令logbN=x,根据对数定义,bx=N.两端取以a为底的对数,logabx=logaN,xlogab=logaN.∵b≠1,∴logab≠0,证法二:令logbN=x,根据对数定义,N=bx=(alogab)x=axlogab,∴xlogab=logaN.∵b≠1,log