数理与信息科学学院数学与应用数学专业课程教学大纲

-1-数理与信息科学学院数学与应用数学专业课程教学大纲数学分析Ⅰ教学大纲（试行草案）（2006年8月试行）一、说明（一）课程性质《数学分析Ⅰ》是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学三个专业的一门重要的核心课程，以一元微分学为基本内容，是学生学习分析学系列课程及其后继课程的重要基础，也是高观点下深入理解中学教学内容的基础．在第1学期开设．（二）教学目的通过本课程的学习，使学生掌握一元函数微分学内容，为学习数学分析Ⅱ、数学分析Ⅲ及分析学系列课程（复变函数、变实函数、微分方程、泛函分析等）及其后继课程打好基础，并自然地渗透对学生进行逻辑和数学抽象的特殊训练．（三）教学内容集合与映射、数列极限、函数极限与连续函数，微分、微分中值定理及其应用、实数系的连续性．（四）教学时数及学分102学时．学分：5分二、本文一实数集与函数（10学时）[[[教教教学学学要要要点点点]]]集合、映射与函数的概念，一元函数的定义表示及初等函数的定义，函数的简单特性．非空数集上（下）确界的概念．[[[教教教学学学内内内容容容]]]1实数实数及其性质；绝对值与不等式．2数集与确界原理集合的概念、运算、Descartes乘积集合．区间、邻域、数集的上（下）界与最大（小）值的概念．上确界与下确界、确界存在原理．-2-3映射与函数映射、一元实函数、函数的表示、几个常见的特殊函数、函数的运算、基本初等函数、初等函数．4具有某些特性的函数函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性．二数列极限(16学时)[[[教教教学学学要要要点点点]]]本段为整个课程的基础，数列极限的定义、性质、四则运算、无穷大量、无穷小量、待定型．运用单调有界原理和Cauchy收敛准则对数列的敛散性进行一般基本的分析和应用．[[[教教教学学学内内内容容容]]]1数列极限概念数列、数列极限的定义及其应用数列极限的定义证明数列极限．2收敛数列的性质收敛数列的唯一性、有界性、保号性、保序性，无穷小量以及无穷小量的基本性质，数列极限的四则运算，迫敛性．无穷大量的定义、无穷大量与无穷小量的关系，待定型．子列、收敛子列定理．3数列极限存在的条件单调数列、单调有界定理．基本列、Cauchy收敛准则．三函数极限(16学时)[[[教教教学学学要要要点点点]]]函数极限的定义、性质、四则运算、与数列极限的关系，单侧极限、Heine归结原则、Cauchy收敛准则．两个重要极限，无穷小量与无穷大量及其阶的比较．[[[教教教学学学内内内容容容]]]1函数极限概念x趋于无穷大时函数的极限，x趋于某一定数时函数的极限，单侧极限．2函数极限的性质函数极限的性质——唯一性、局部有界性、局部保序性、保号性、迫敛性、函数极限的四则运算．无穷小量、无穷大量的定义及其无穷大量与无穷小量的关系．函数极限定义的推广．复合函数的极限．3函数极限存在的条件-3-Heine归结原则．单侧极限存在定理，Cauchy收敛准则．4两个重要极限两个重要极限的推导及其应用．5无穷小量与无穷大量的阶无穷小量的比较、高阶、同阶、等价无穷小量，无穷大量的比较、高阶、同阶、等价无穷大量，等价量、等价量的代换．四函数的连续性(14学时)[[[教教教学学学要要要点点点]]]连续函数的定义、间断点的类型、连续函数的四则运算、反函数的连续性、复合函数的连续性，闭区间上连续函数的性质、一致连续的概念．[[[教教教学学学内内内容容容]]]1连续性概念连续函数的定义、单侧连续，间断点的类型，区间上的连续函数．2连续函数的性质连续函数的四则运算，连续函数的局部性质，反函数连续性定理、复合函数的连续性．闭区间上连续函数的有界性、最值性、介值性、根的存在定理、一致连续性及闭区间上连续函数的一致连续性的Cantor定理．3初等函数的连续性指数函数的连续性，基本初等函数的连续性，初等函数的连续性．五导数与微分(14学时)[[[教教教学学学要要要点点点]]]导数的定义、导数的四则运算和反函数的求导法则、复合函数的求导法则及其应用，微分的定义、一阶微分形式的不变性、高阶导数和高阶微分及运算法则，Leibniz公式．[[[教教教学学学内内内容容容]]]1导数概念导数产生的背景、导数的定义、导数的几何意义、导函数、单侧导数，可导与连续的关系．用定义求导数．2求导法则求导的四则运算、反函数求导法则，复合函数求导法则——链式法则．基本求导公式，基本初等函数的导数．双曲函数的导数．-4-3微分微分的历史背景、微分的定义、微分的几何意义、微分的运算性质、一阶微分形式的不变性、近似计算与误差估计．4高阶导数和高阶微分高阶导数的定义、运算、Leibniz公式、高阶微分的概念．5参量方程所确定的函数的导数六微分中值定理与不定式极限(20学时)[[[教教教学学学要要要点点点]]]微分中值定理、Taylor公式及其应用，L`Hospital法则并应用极限计算．用导数判断函数单调性、极值、最大值和最小值的方法，函数凸性和拐点的定义、函数的凸性条件推导和证明、函数的凹凸性和拐点的判定，应用函数的单调性和凸性证明不等式，函数的渐近线、函数作图．[[[教教教学学学内内内容容容]]]1微分中值定理极值、Fermat引理、Rolle中值定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理．函数的单调性与单调区间、运用不等式原理证明不等式．2L`Hospital法则待定型极限、L`Hospital法则、00型、型、型、0型、0型、1型、00型的极限．3Taylor公式Taylor中值定理、Taylor公式及其Peano型余项、Lagrange型余项、Cauchy型余项．Maclaurin公式，Taylor公式的应用、近似计算、求极限．3函数的极值函数极值、最大值和最小值，最值问题．4函数的凸性和拐点函数凸性和拐点的概念，函数凸性和拐点存在的各种条件，Jessen不等式、运用函数的凹凸性证明不等式．5函数图像的讨论函数的渐进线，运用函数的各种几何性态描述函数的图像．七极限与连续性（续）(12学时)[[[教教教学学学要要要点点点]]]在第二、三、四部分我们讨论了极限存在的各种条件，本部分是在上述讨论的基础上通过讨-5-论实数系的连续性继续详细讨论极限存在的各种条件及其内在联系，本段的内容主要包括Cantor闭区间套定理、聚点、Bolzano-Weierstrass聚点定理、Heine—Borel有限覆盖定理的证明和应用，及其运用上述定理证明闭区间上连续函数的性质．[[[教教教学学学内内内容容容]]]1实数完备性的基本定理Cantor闭区间套定理及其‘闭区间套技术’、Cauchy收敛准则、Weierstrass聚点定理、致密性定理、Heine—Borel有限覆盖定理及其‘有限覆盖技术’，实数完备性的基本定理的等价性的讨论与推导．2闭区间上连续函数性质的证明运用上节定理证明闭区间上连续函数的性质—有界性、最大值和最小值、介值性与根的存在定理、一致连续的Cantor定理．三、参考书目1、华东师范大学数学系．数学分析（第二版）．北京：高等教育出版社，1996．2、陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中．数学分析（第二版）．北京：高等教育出版社，2002．3、陈纪修，於崇华，金路著．数学分析（第-一版）．北京：高等教育出版社，2002．4、、、菲赫金哥尔茨．微积分学教程．北京：人民教育出版社，1957．5、吉米多维奇．数学分析习题集．北京：人民教育出版社，1958．-6-数理与信息科学学院数学与应用数学专业课程教学大纲几何学教学大纲（试行草案）（2006年8月试行）一、说明（一）课程性质《几何学》是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学三个专业的一门重要的核心课程．既是学习后继课程的基础，又对中学教学有着指导作用．（二）教学目的通过《空间解析几何》部分的学习，使学生初步掌握解析几何的基本思想、基本理论和研究方法，积累必要的数学知识，培养学生抽象思维能力、建立数学模型的能力、推理和演算能力，提高学生利用解析几何知识分析问题和解决问题的能力.通过《射影几何学》部分的学习，使学生初步了解近代几何的公理化方法和体系，较深入地理解中学几何的逻辑结构，特别是解析几何的理论与方法，从而获得在比较高的观点上来处理中学几何问题的能力.另外，通过本课程的学习，为学习相关专业课程及以后实际应用提供必要的基础．（三）教学内容在《空间解析几何》部分的学习矢量与坐标，轨迹与方程，平面与空间直线，柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面，二次曲线的一般理论.《射影几何学》部分的学习仿射几何学的基本概念，欧氏平面的拓广，一维射影几何学.（四）教学时数及学分102学时，学分：5分.二、本文第一部分空间解析几何（78学时）一向量与坐标（22学时）[[[教教教学学学要要要点点点]]]向量及其线性运算；向量的内积、外积与混合积；向量的坐标；向量代数在初等几何中的应用．[[[教教教学学学内内内容容容]]]1、向量、向量的模、单位向量、零向量、相等向量、相反向量、自由向量、共线向量与共面-7-向量的概念，掌握向量的表示方法；2、向量线性相关与线性无关的概念及相关结论；3、向量的基本运算，运用向量法证明较简单的几何问题，运用向量的基本知识解决关于共线、共面、定比分点等问题；能解决关于长度、夹角、面积、体积等度量问题；4、坐标进行向量的相关运算及一些简单问题的证明.二轨迹与方程（10学时）[[[教教教学学学要要要点点点]]]平面的方程、点到平面的距离；平面间的相关位置；直线的方程、点到直线的距离；直线、平面之间的相关位置关系；平面束．[[[教教教学学学内内内容容容]]]1、平面曲线、曲面、空间曲线的方程的定义，轨迹与其方程之间的关系；2、在直角坐标系下建立曲线或曲面方程的基本方法；3、曲线、曲面普通方程和参数方程的相互转化.三平面与空间直线（16学时）[[[教教教学学学要要要点点点]]]平面和空间中曲线的概念；平面和空间直线方程的各种表示形式及其相关位置；平面和空间曲线的方程及其各种方程之间的转换，应用．[[[教教教学学学内内内容容容]]]1、平面和空间直线方程的各种表示形式；2、建立平面和空间直线的方程的方法；3、根据已知条件判断平面与平面、平面与空间直线、空间直线与空间直线之间的相关位置；4、平面的一般方程与法式方程、空间直线的一般方程与标准方程的互化方法；5、求两异面直线的距离与公垂线方程的计算方法.四柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面（14学时）[[[教教教学学学要要要点点点]]]空间中曲面的概念；球面、柱面、锥面；旋转曲面；二次曲面；直纹面．[[[教教教学学学要要要点点点]]]1、柱面、锥面、旋转曲面的定义及特征，了解直纹曲面的概念，了解椭球面、双曲面、抛物面的标准方程及图形特征；2、求柱面、锥面及旋转曲面的方程，坐标面内的曲线绕该面内的一条坐标轴旋转时所得旋转-8-曲面的方程的求解方法.3、求单叶双曲面与双曲抛物面的直母线.五二次曲线的一般理论（16学时）[[[教教教学学学要要要点点点]]]欧氏平面上的坐标变换；坐标变换下二次方程系数的变化；二次曲线方程的化简与二次曲线的分类；二次曲线的不变量．[[[教教教学学学要要要点点点]]]1、二次曲线及其相关定义，了解平面直角坐标变换公式；2、二次曲线的渐近方向、中心、渐近线、切线、主方向与主直径；3、能够将二次曲线的一般方程化为标准方程.第二部分射影几何学（24学时）一仿射几何学的基本概念（4学时）[[[教教教学学学要要要点点点]]]仿射几何学基本概念初步的介绍．[[[教教教学学学要要要点点点]]]1、平行射影、仿射对应、简比、同素性、仿射不变性与仿射不变量的概念；2、基本的一些仿射不变性与不变量；3、平面仿射几何基本定理的内容；4、利用仿射不变性与不变量证明一些简单的初等几何问题.二欧氏平面的拓广（6学时）[[[教教教学学学要要要点点点]]]中心投影，平面内的理想元素，拓广欧氏平面技改平面上相关的概念；中心投影的基本性质；直线的方程和点的坐标，对偶命题；复直线．[[[教教教学学学内内内容容容]]]1、中心投影、理想元素、