2011高考复习文科数学专题七：《概率》

专题七概率与统计、推理与证明、算法初步、框图、复数第一讲概率考点整合随机事件的概率考纲点击1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．2．了解两个互斥事件的概率加法公式．基础梳理一、随机事件的概率1．概率的几个性质(1)0≤P(A)≤1；(2)若事件A为必然事件，则P(A)＝________；(3)若事件A为不可能事件，则P(A)＝________.2．互斥事件的概率加法公式若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝________.3．对立事件若事件A与事件B互为对立事件，则P(A∪B)＝________，即P(A)＝________.答案：1.(2)1(3)02.P(A)＋P(B)3.1,1－P(B)整合训练1．(2009年深圳模拟)从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”答案：C考纲点击古典概型与几何概型1．理解古典概型及其概率计算公式．2．会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．3．了解几何概型的意义．基础梳理二、古典概型与几何概型1．古典概型的概率公式对于古典概型，任何事件的概率为：P(A)＝______________.2．几何概型的概率公式在几何概型中，事件A的概率的计算公式为：P(A)＝________________.1.A包含的基本事件的个数基本事件的总数2.构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积答案：整合训练2．(1)(2010年安徽卷)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是()A.318B.418C.518D.618(2)(2010年辽宁卷)三张卡片上分别写上字母E、E、B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________．解析：(1)正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个基本事件．两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和对角线)包括10个基本事件，所以概率等于.(2)题中三张卡片随机地排成一行，共有三种情况：BEE，EBE，EEB，∴概率为：.答案：(1)C(2)5181313高分突破互斥事件、对立事件的概率某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为()A.715B.815C.35D．1思路点拨：本题中“至少有1名女生当选”，可分为两种情况，“一男生一女生当选”或“二女生当选”或考虑其对立事件“2名男生当选”．解析：法一：设A＝“至少有1名女生当选”；B＝“1男生1女生当选”；C＝“2女生当选”；且事件B与事件C为互斥事件．则P(A)＝P(B∪C)＝P(B)＋P(C)．又P(B)＝7×310×92＝715，P(C)＝310×92＝115，∴P(A)＝P(B)＋P(C)＝815.法二：设A＝“至少有1名女生当选”，则A＝“2名男生当选”，且P(A)＝7×610×9＝715，∴P(A)＝1－P(A)＝815.跟踪训练1．将两颗骰子投掷一次，求：(1)向上的点数之和是8的概率；(2)向上的点数之和不小于8的概率．解析：将两骰子投掷一次，共有36种情况，向上的点数之和的不同值共11种．(1)设事件A＝{两骰子向上的点数之和为8}，事件A1＝{两骰子向上的点数分别为4和4}，事件A2＝{两骰子向上的点数分别为3和5}，事件A3＝{两骰子向上的点数分别为2和6}，则A1与A2、A3互为互斥事件，且A＝A1＋A2＋A3，故P(A)＝P(A1＋A2＋A3)＝136＋236＋236＝536.(2)设事件S＝{两骰子向上的点数之和不小于8}，事件A＝{两骰子向上的点数之和为8}，事件B＝{两骰子向上的点数之和为9}，事件C＝{两骰子向上的点数之和为10}，事件D＝{两骰子向上的点数之和为11}，事件E＝{两骰子向上的点数之和为12}，则A，B，C，D，E互为互斥事件，且S＝A＋B＋C＋D＋E，故P(S)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)P(A)＝536，P(B)＝19，P(C)＝112，P(D)＝118，P(E)＝136，＝536＋19＋112＋118＋136＝512.古典概型的概率问题现有8名奥运志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率．思路点拨：(1)本例题可以先列举出所有基本事件和所求事件包括的基本事件，然后根据古典概型的概率公式求解．(2)本小题可以先求对立事件的概率，然后根据对立事件的性质求解．解析：(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}，由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M表示“A1被选中”这一事件，则M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}，事件M由6个基本事件组成．因而(2)用N表示“B1、C1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“B1、C1全被选中”这一事件，P(M)＝618＝13.N由于N＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，事件N由3个基本事件组成，所以P(N)＝318＝16，由对立事件的概率公式得P(N)＝1－P(N)＝1－16＝56.跟踪训练2．(2010年湖南文数)为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表(单位：人)高校相关人数抽取人数A18xB362C54y(1)求x，y；(2)若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率．(2)记从高校B抽取的2人为b1、b2，从高校C抽取的3人为c1，c2，c3，则从高校B，C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)共10种．设选中的2人都来自高校C的事件为X，则X包含的基本事件有(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)共3种，因此故选中的2人都来自高校C的概率为.解析：(1)由题意可得，x18＝236＝y54，所以x＝1，y＝3.P(X)＝310.310几何概型的概率问题在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率________．思路点拨：本题是几何概型求概率问题，可以先计算出试验的全部结果构成的区域面积和所求事件构成的区域面积，然后根据几何概型的概率公式求解．解析：如下图，区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部(含边界)，区域E表示单位圆及其内部，用M表示“向D中随机投一点，则落入E中”这一事件，则P(M)＝π×124×4＝π16.答案：π16跟踪训练3．已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)．(1)求当x，y∈R时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率；(2)求当x，y∈Z时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．解析：(1)点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．∴所求的概率(2)满足x，y∈Z，且|x|≤2，|y|≤2的点有25个，满足x，y∈Z，且(x－2)2＋(y－2)2≤4的点有6个，∴所求的概率P2＝.P1＝14π×224×4＝π16.625