2011高考数学一轮复习课件：椭圆

第六节椭圆一、椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离之等于常数()的点的集合叫作椭圆，这两个定点F1，F2叫作椭圆的，两焦点F1，F2间的距离叫做椭圆的．大于|F1F2|焦点焦距和在椭圆的定义中，若2a=|F1F2|或2a＜|F1F2|动点P的提示：当2a=|F1F2|时动点的轨迹是线段F1F2；当2a＜|F1F2|时动点的轨迹是不存在的.二、椭圆的标准方程及其几何意义条件2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，c＞0标准方程及图形条件2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，c＞0范围对称性曲线关于、对称曲线关于对称顶点长轴顶点()短轴顶点()长轴顶点()短轴顶点()焦点()()焦距|F1F2|＝(c2＝)离心率e＝∈，其中c＝|x|≤a；|y|≤b|x|≤b；|y|≤ax轴y轴、原点x轴、y轴、原点±a,0±b,0±c,00，±a0，±b0，±c2ca2－b2(0,1)解析：分两种情况可得1．若椭圆的离心率为，则实数m()或或答案：A2．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P(x，y)满足条件|PF1|＋|PF2|＝a(a＞0)，则动点P的轨迹是()A．椭圆B．线段C．椭圆或线段或不存在D．不存在解析：当a＜6时，轨迹不存在；当a＝6时，轨迹为线段；当a＞6时，轨迹为椭圆．答案：C3．已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为()A．2B．3C．5D．7解析：答案：D4．椭圆的焦点坐标为________．解析：由方程知焦点在y轴上，故a2＝9，b2＝4，∴c2＝5，∴焦点为(0，±)．答案：(0，±)5．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是________．解析：椭圆方程化为焦点在y轴上，则即k＜1.又k＞0，∴0＜k＜1.答案：(0,1)求椭圆的标准方程主要有定义法、待定系数法，有时还可根据条件用代入法．用特定系数法求椭圆方程的一般步骤是：(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．(2)设方程：根据上述判断设方程(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)．(3)找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c或m、n的方程组．(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．22ya【注意】当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设(m＞0，n＞0，m≠n)，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0且A≠B)，在已知椭圆上两点时，这种形式在解题时更简便．已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5,3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程．利用定义可得2a，焦点位置不确定要注意讨论.【解】设所求的椭圆方程为＝1(a＞b＞0)，由已知条件得解得a＝4，c＝2，b2＝12，故所求方程为1．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，求椭圆的方程．解：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)．∵椭圆经过P1、P2点，∴P1、P2点坐标适合椭圆方程，则两式联立，解得m＝∴所求椭圆方程为1．椭圆性质的挖掘(1)设椭圆(a＞b＞0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处．(2)椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．(3)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2.(4)过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.2．离心率在求法中要有整体求值思想或变形为(2009·重庆高考)已知椭圆a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．若椭圆上存在点P使则该椭圆的离心率的取值范围为________．利用正弦定理得|PF1|、|PF2|的关系，结合定义可得PF2，再根据焦点弦长的最大最小值建立不等关系.【解析】在△PF1F2中，由正弦定理知①又∵P在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a，将①代入得|PF2|＝∈(a－c，a＋c)，同除以a得，1－e＜＜1＋e，【答案】(－1,1)即|PF1|=e|PF2|.2．(2010·茂名一模)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是等腰直角三有形，则这个椭圆的离心率是()解析：∵△ABF2是等腰直角三角形，∴|AF1|＝|F1F2|，将x＝－c代入椭圆方程得A(－c，±)，从而＝2c，即a2－c2＝2ac，整理得e2＋2e－1＝0，解得e＝－1±，由e∈(0,1)得e＝－1.答案：C3．(2010·枣庄一模)设椭圆(m＞0，n＞0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的标准方程为________．解析：抛物线y2＝8x的焦点是(2,0)，∴椭圆的半焦距c＝2，即m2－n2＝4，又e＝∴m＝4，n2＝12.从而椭圆的方程为答案：1．直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式Δ来判断直线和椭圆相交、相切或相离．2．消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础．3．直线y＝kx＋b(k≠0)与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|(2010·厦门模拟)已知椭圆C的中心为坐标原点，一个长轴端点为(0,1)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形．若直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于不同的两点A、B，且(1)求椭圆C的方程；(2)求实数m的取值范围．(1)待定系数法易求．(2)利用建立k、m关系，根据Δ建立不等式可求m范围．【解】(1)依题意a=1，b=c，∴b2=，∴所求椭圆C的方程为2x2＋y2＝1.(2)设直线l：y＝kx＋m，消去y得(k2＋2)x2＋2kmx＋m2－1＝0，Δ＝4k2m2－4(k2＋2)(m2－1)＝－4(2m2－k2－2)＞0，∴2m2－k2－2＜0，x1＋x2＝∵设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则∴x1＝－3x2，消去x1得消去x2得3k2m2＝(k2＋2)(1－m2)，∴k2＝∴2m2－2－＜0⇒(m2－1)(4m2－1)＜0，∴m∈11(1,)(,1).224．(2010·广州模拟)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，且经过P(1，)．(1)求椭圆C的方程；(2)设F是椭圆C的左焦点，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．解：(1)∵椭圆(a＞b＞0)的离心率为，且经过点P(1,),∴椭圆C的方程为(2)∵a2＝4，b2＝3，∴c＝∴椭圆C的左焦点F的坐标为(－1,0)．以椭圆C的长轴为直径的圆的方程为x2＋y2＝4，圆心坐标是(0,0)，半径为2.以PF为直径的圆的方程为x2＋圆心坐标是，半径为∵两圆心之间的距离为=2-,故以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切．椭圆的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的热点，尤其是离心率问题是各地高考考查的重点，多在选择、填空中出现，主要考查学生结合定义，几何性质，分析问题解决问题的能力以及运算能力.2009年江苏综合考查了直线方程的求法、两直线的交点求法及离心率的求法.属中档题.(2009·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，A1、A2、B1、B2为椭圆(ab0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________．[解析]A1(-a,0)，B2(0，b)．故A1B2的方程为：B1(0，-b)，F(c,0)．故B1F的方程为：y=-b.交点T的坐标满足：解之得T∴OT中点在椭圆上．故有整理得：3a2-10ac-c2=0.∴e2+10e-3=0，∴e=2-5.[答案]2-5建立a、b、c的关系是解决离心率问题的关键，要充分利用图形及其性质．