力学第四章动能和势能

Chap04动能和势能4.1能量——另一个守恒量能量——另一个守恒量能量概念发展史简介(1)伽利略对摆的论证——为后人认识机械能守恒开辟一途径。(2)莱布尼兹提出的物体运动的量与物体速度平方成正比被科里奥利称为“活力”。(3)英国物理学家杨（T.Young）(在光的干涉方面作出贡献)将mv2/2称作能量。(4)热学中永动机不可能实现的确认和各种物理现象之间的普遍联系的发现，导致了能量守恒定律的最终确立。(5)能量守恒定律的发现最重要的贡献者当推迈耶（M.Meyer）、焦耳（J.P.Joule）和亥姆霍兹（H.von.Helmholtz）三位伟大的科学家。cj能量——另一个守恒量(6)能量守恒是自然界的基本规律。自然界的一切过程都必须满足能量守恒，但满足能量守恒定律的过程不一定都能实现。(7)经典物理认为物体的能量是连续值。量子物理中物体的能量是不连续的。(8)在相对论中，将学到能量和质量是等价的E=mc2称质能关系。cj4.2力的元功·用线积分表示功力的元功·用线积分表示功一、力的元功和功率力对时间的积累作用——冲量力对空间的积累作用——功1、恒力的功aFvrvnFvtFvtAFr=vcosFra=vFr=⋅vvcj力的元功·用线积分表示功1J1Nm=⋅在SI中功的单位为焦耳191eV1.60210J-=×22MLT-量纲2、变力的功xyzOabMFvrvrrvvd+rvda质点M在变力作用下，沿曲线轨迹由a运动到b，变力作的功ddcosAFra=v一段上的功：Fv在rvdddAFr=⋅vvcj力的元功·用线积分表示功3、功率平均功率瞬时功率1W1J/s=SI,(W)在单位中功率单位为瓦特功率——力在单位时间内所做的功ΔΔAPt=Δ0ΔdlimΔdtAAPtt→==ddFrFvt⋅==⋅vvvvPFv=⋅vv额定功率——最大输出功率量纲：23MLT-cj二、利用不同坐标系表示元功力的元功·用线积分表示功若力沿直线位移做功，令x轴与位移重合，则有ddxAFx=1、直角坐标系dddddxyzxyzAFiFjFkxiyjdzkFxFyFdz=++⋅++=++vvvvvv（）（）FvΔrvDxDyxyr0r1xyzFFiFjFk=++vvvvdddrxiyjdzk=++vvvvddAFr=⋅vv如果为平面运动dddxyAFxFy=+cj力的元功·用线积分表示功FvOs0s1tevtddrse=vv2、平面自然坐标ttnnttdddAFeFeseFs=+⋅=vvv（）ttnnFFeFe=+vvvtddrse=vvddAFr=⋅vvcj力的元功·用线积分表示功OA(r,q)reveqvFvΔrv3、平面极坐标dddrrrAFeFerereqqqq=+⋅+vvvv（）（）ddrFrFrqq=+rrFFeFeqq=+vvvdddrrrereqq=+vvvddAFr=⋅vvcj力的元功·用线积分表示功vFPvv⋅=直角坐标系：zzyyxxvFvFvFP++=自然坐标系：tPFv=一维运动：FvP=cj力的元功·用线积分表示功三、力在有限路径上的功FvΔrvDxDyxyr0r1质点r0®r11ΔniiiAFr=≈⋅∑vv0irnΔ→→∞vΔ01limΔniiriAFr→==⋅∑vv10drrAFr=⋅∫vvcj力的元功·用线积分表示功质点受n个力共同作用时合力12FFF=++vvvL11100012dddrrrrrrAFrFrFr=⋅=⋅+⋅+∫∫∫vvvvvvL(1)功是标量，但有正负，与力和位移的夹角有关。(2)功是力对空间的积累，是过程量，与路径有关。说明cj例题0x1xxOxFxOxmab[例题]弹簧一端固定，另一端与质点相连。弹簧劲度系数为k，求质点由x0运动至x1时弹簧弹性力所做的功。Ox坐标系原点位于弹簧自由伸展时质点所在位置。[解]弹性力x0x1为任意起始位置，与路径无关。xFkx=-10220111()d22xxAkxxkxkx=-=-∫cj例题[例题]马拉雪橇水平前进，自起点A沿某一长为L的曲线路径拉至终点B。雪橇与雪地间的正压力为FN，摩擦因数为m。求摩擦力的功。[解]沿雪橇轨迹取自然坐标，雪橇前进方向为自然坐标增加的方向10tdssAFs=∫NNN0dBLAAFsFsFLmmm=-=-=-∫摩擦力的功摩擦力的功与路径有关。cj例题[例题]从10m深的井中把10kg的水匀速上提，若每升高1m漏去0.2kg的水。(1)画出示意图，设置坐标轴后，写出力所做元功的表达式。(2)计算把水从井下匀速提到井口外力所做的功。[解](1)建立坐标并作示意图如右,(d)Fmmg=-dd()dAFymygyl=⋅=-vv(2)21()dyyAmygyl=-∫100(100.2)9.8dyy=-⋅∫882J=()mygl=-OmFvmdycj例题FvL缓慢拉质量为m的小球，θGvTv[例题]求小球从竖直位置拉伸到q0时，用力Fv保持方向不变Fv作的功。Fvcj例题0sin=-θTF0cos=-mgθTθmgFtan=∫=sθθmgdcostan∫∫=⋅=sθFrFAdcosdvv)cos1(0θmgL-=∫=00costanθθθθmgLdxyGvFvLθTvcj4.3质点和质点系动能定理一、质点的动能定理avvdrvFvbvvab221122bamvmv=-ddddvAFrmrt=⋅=⋅∫∫vvvvdddrmvt=⋅∫vv1d()2mvv=⋅∫vv物体在合力作用下，由a®b21d()2mv=∫dmvv=⋅∫vv1、质点的动能定理质点和质点系动能定理cj2k12Emv=定义单位和量纲与功相同——物体的动能2201122Amvmv=-即：合力对质点所做的功等于质点动能的增量，是动力学基本定理之一。Fv——动能定理则：或：kk0AEE=-质点和质点系动能定理cj质点和质点系动能定理(2)Ek是状态量DEk­，A0;DEk¯，A0，动能是物体因具有速度而具有的作功的本领与过程无关，而功与过程有关。(3)动能定理只适用于惯性系。(1)质点的动能定理中的功永远是合力的功。2、说明:cj例题[例题]如图，物块质量m置于粗糙水平面上。用橡皮绳系于墙上，橡皮绳原长a，拉伸时相当于劲度系数为k的弹簧，现将物块向后拉伸至橡皮绳长为b后再由静止释放。求物块击墙的速度。物块与水平面间的摩擦系数为m.。Oxxabmcj例题1222kvbagbmm⎡⎤∴=--⎢⎥⎣⎦（）[解]弹力只存在于b®a过程，摩擦力始终存在，由动能定理有：(v0=0)21()d2abmvmgbkxaxm=-+--∫21()2kbamgbm=--Oxxabmcj例题例题[例题]长度为l，横截面积为s，密度为r的细棒从如图位置，以零初速落入密度为)(00rrr，深度为h)(lh的水池中。求细棒下端接触到水池底时的速度。hlxfvgmvcj例题例题⎩⎨⎧≤≤-≤≤-=-=)()0(00hxlgslgsllxgsxgslfmgFrrrr200000021)()()(gslgslhdxgslgsldxgsxgslFdxAhllhrrrrrrr+-=-+-==∫∫∫→20021)(gslgslhrrr+-2221021gslvmvr=-=rrrr/)/1(200glghv+-=cj例题例题[例题]长为l的均质链条，部分置于水平面上，另一部分自然下垂,已知链条与水平面间静摩擦系数为m0,滑动摩擦系数为m求:(1)满足什么条件时，链条将开始滑动(2)若下垂部分长度为b时，链条自静止开始滑动，当链条末端刚刚滑离桌面时，其速度等于多少？cj(1)以链条的水平部分为研究对象，设链条每单位长度的质量为r，沿铅垂向下取Oy轴。当yb0，拉力大于最大静摩擦力时，链条将开始滑动。设链条下落长度y=b0时，处于临界状态0)(000=--gblgbrmrlb0001mm+=例题例题cj(2)以整个链条为研究对象，链条在运动过程中各部分之间相互作用的力的功之和为零，∫-==lbblgyygA22)(21drr∫--=--=lbblgyylA2)(21d)('mrmr摩擦力的功重力的功021)(21)(212222-=---vlblgblgrmrr222)()(bllgbllg---=mv根据动能定理有例题例题cjrev二、质点系内力的功质点和质点系动能定理以两质点系m1和m2为例2rv1rv2m1mOxyz1drvFvF-v2drv一对内力元功之和：21dd()dAFrFr=⋅+-⋅vvvv21dddrrr=-vvv质点2相对质点1的元位移ddAFr=⋅vvdddrrrrAFereFr=⋅=vv1drv2drvdrvdrv1drv2drv1、内力的功Fvcj质点和质点系动能定理(1)内力的总功一般不为零。只与1、2质点相对距离变化有关，而二质点距离变化与参照系的选择无关。(2)内力的总功与参考系无关(3)一对内力所做的功,只决定于两质点的相对路径。对非惯性系同样成立。2、说明内力的总功不一定为零！cj质点和质点系动能定理(1)内力和为零，内力功的功是否为零？不一定为零！21ffvv-=∑=0fvLfA11-=SfA22=∑--=)(1SLfAAB1fv2fvABSL(2)内力的功也能改变系统的动能例：炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转化为弹片的动能。3、举例cj质点和质点系动能定理三、质点系的动能定理n个质点组成的系统，对第i个质点用动能定理即：所有外力对质点系做的功和内力对质点系作的功之和等于质点系总动能的增加——质点系动能定理。kk0iiiiAAEE+=-外内n个质点kk0iiiiAAEE+=-∑∑∑∑外内省去脚标ikk0AAEE+=-∑∑∑∑外内cj例题[例题]如图，质量为m0的卡车载一质量为m的木箱，以速率v沿水平路面行驶。因故突然刹车，车轮立即停止转动，卡车滑行一定距离后静止，木箱在卡车上相对于卡车滑行了l距离。卡车滑行了L距离。求L和l。已知木箱与卡车间的摩擦系数为m1,卡车与地面的动摩擦因数为m2。lLcj例题FvNFvN1FvfFvWvN2FvfF′v1Wv[解]1.用质点动能定理求解受力分析如图，只有力,和做功fFvfF′vFv根据质点动能定理得2112101[()]0(1)2=-2111()0(2)2WLlmvm-+=-20201/2[()]Lmvmmmgmm=+-21/2lvgLm=-cj例题2.用质点系运动定理求解视卡车与木箱为一质点系20()AmmgLm=+外212001()()(3)2mglmmgLmmvmm--+=-+1Amglm=-内按质点系运动定理，有(2)(3)联立得与上法相同结果。cj4.4保守力与非保守力·势能保守力与非保守力·势能一、力场均匀力场中场力的分布场力——质点所受到的力仅与质点的位置有关。()FFr=vvv力场——存在场力的空间。有心力——质点所受作用力的作用线总通过某一点的力。该点称力心。FvSunEarth力心cj保守力与非保守力·势能正点电荷周围引入另一正点电荷受到的场力。OA弹簧固定于O点，运动质点A受到的弹性场力；蓝色点处表示弹性力为零。cj保守力与非保守力·势能二、保守力与非保守力1、几种力的功(1)重力的功在重力作用下，质点m经任一路径由a到bdbaAmgr=⋅∫vv()abAmgyy=-重dmgjr=-⋅∫vv（）dbarrmgjr=-⋅∫vvvv（）()bamgjrr=-⋅-vvv（）abxyqbarr-vvarvbrvcj保守力与非保守力·势能(2)万有引力的功上的元功为rFAvdcosdq=qqcosd)cos(ddrrrvv-=-π=rrmMGAdd2-=02()drrLmMAGrr=-∫011AGmMrr⎛⎞=-⎜⎟⎝⎠Mab0rvrvmFvrvdq在位移元Fvrvd2rmMGF=rdr0,r为起始位置，与路径无关cj(3)静电场力的功在静电荷q电场中，电荷q0自r0处运动至r处静电力之功为0002000111d()4π4πrrqqqqArrrree==-∫保守力与非保守力·势能q0qrdrr+abld