浙江专版2018高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第12节导数与函数的极值最值课件

课时分层训练抓基础·自主学习明考向·题型突破第二章函数、导数及其应用第十二节导数与函数的极值、最值1．函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值_____，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧__________，右侧__________，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值_____，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧__________，右侧__________，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．都小f′(x)＜0f′(x)＞0都大f′(x)＞0f′(x)＜02．函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条__________的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的_____；②将函数y＝f(x)的各极值与_______________________比较，其中_____的一个是最大值，_____的一个是最小值．连续不断极值端点处的函数值f(a)，f(b)最大最小1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值一定比极小值大．()(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．()(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()(4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图2­12­1所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为()图2­12­1A．1B．2C．3D．4A[导函数f′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个，所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点．]3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件C[y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9或x＝－9(舍去)．当x∈(0,9)时，y′＞0，当x∈(9，＋∞)时，y′＜0，则当x＝9时，y有最大值．即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]4．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝()【导学号：51062084】A．－4B．－2C．4D．2D[由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x－2或x2时，f′(x)0；当－2x2时，f′(x)0，∴f(x)在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f(x)在x＝2处取得极小值，∴a＝2.]5．函数y＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是________．8[y′＝6x2－4x，令y′＝0，得x＝0或x＝23.∵f(－1)＝－4，f(0)＝0，f23＝－827，f(2)＝8，∴最大值为8.]利用导数研究函数的极值问题☞角度1根据函数图象判断极值设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图2­12­2所示，则下列结论中一定成立的是()图2­12­2A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)D[由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．]☞角度2求函数的极值求函数f(x)＝x－alnx(a∈R)的极值．[解]由f′(x)＝1－ax＝x－ax，x＞0知：(1)当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；6分(2)当a＞0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.又当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，10分从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值.15分☞角度3已知极值求参数(1)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0)B.0，12C．(0,1)D．(0，＋∞)(2)(2017·诸暨市肇庆三模)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，若x＝－3是函数f(x)的一个极值点，则实数a＝________.(1)B(2)5[(1)∵f(x)＝x(lnx－ax)，∴f′(x)＝lnx－2ax＋1，故f′(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点，令f′(x)＝0，则2a＝lnx＋1x，设g(x)＝lnx＋1x，则g′(x)＝－lnxx2，∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，又∵当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，而g(x)max＝g(1)＝1，∴只需0＜2a＜1⇒0＜a＜12.(2)f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意知x＝－3为方程3x2＋2ax＋3＝0的根，∴3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，解得a＝5.][规律方法]利用导数研究函数极值的一般流程利用导数解决函数的最值问题已知函数f(x)＝x－eax(a＞0)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在1a，2a上的最大值．[解](1)f(x)＝x－eax(a＞0)，则f′(x)＝1－aeax，令f′(x)＝1－aeax＝0，则x＝1aln1a.2分当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－∞，1aln1a1aln1a1aln1a，＋∞f′(x)＋0－f(x)极大值故函数f(x)的增区间为－∞，1aln1a；减区间为1aln1a，＋∞.7分(2)当1aln1a≥2a，即0＜a≤1e2时，f(x)max＝f2a＝2a－e2；12分当1a＜1aln1a＜2a，即1e2＜a＜1e时，f(x)max＝f1aln1a＝1aln1a－1a；当1aln1a≤1a，即a≥1e时，f(x)max＝f1a＝1a－e.15分[规律方法]求函数f(x)在[a，b]上的最大值、最小值的步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值．[变式训练1](2017·嘉兴市质检(二))若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，若t＝ab，则t的最大值为()A．2B．3C．6D．9D[f′(x)＝12x2－2ax－2b，则f′(1)＝12－2a－2b＝0，a＋b＝6，又a＞0，b＞0，则t＝ab≤a＋b22＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号，故选D.]利用导数研究生活中的优化问题某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3x6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[解](1)因为x＝5时，y＝11，所以a2＋10＝11，a＝2.4分(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y＝2x－3＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)＝(x－3)2x－3＋10x－62＝2＋10(x－3)(x－6)2,3x6.8分从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)，于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x＝4时，函数f(x)取得极大值，也是最大值，12分所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.15分[规律方法]利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y＝f(x)，并确定其定义域；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．[变式训练2]某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间有关系y＝13x3－392x2－40x(x＞0)，为使耗电量最小，则速度应定为________.【导学号：51062085】40[由y′＝x2－39x－40＝0，得x＝－1或x＝40，由于0＜x＜40时，y′＜0；x＞40时，y′＞0.所以当x＝40时，y有最小值．][思想与方法]1．可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．2．求闭区间上可导函数的最值时，对函数的极值是极大值还是极小值可不作判断，直接与端点的函数值比较即可．3．如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．4．若函数f(x)在定义域A上存在最大值与最小值，则：(1)对任意x∈A，f(x)＞0⇔f(x)min＞0；(2)存在x∈A，f(x)＞0⇔f(x)max＞0.[易错与防范]1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能．2．导数为零的点不一定是极值点．对含参数的求极值问题，应注意分类讨论．3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．4．利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义．