浙江专版2018高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第2节函数的单调性与最值课件

课时分层训练抓基础·自主学习明考向·题型突破第二章函数、导数及其应用第二节函数的单调性与最值1．增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1＜x2，则都有：(1)f(x)在区间D上是增函数⇔___________；(2)f(x)在区间D上是减函数⇔___________．2．单调性、单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是_______或_______，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，________叫做y＝f(x)的单调区间．f(x1)＜f(x2)f(x1)＞f(x2)增函数减函数区间D3．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意的x∈I，都有__________；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①对于任意的x∈I，都有________；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M是y＝f(x)的最大值M是y＝f(x)的最小值f(x)≤Mf(x)≥M1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，x1≠x2且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0，则函数f(x)在区间D上是增函数．()(2)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．()(3)函数y＝|x|是R上的增函数．()(4)所有的单调函数都有最值．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×2．下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是()A．y＝11－xB．y＝cosxC．y＝ln(x＋1)D．y＝2－xD[选项A中，y＝11－x在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故y＝11－x在(－1,1)上为增函数；选项B中，y＝cosx在(－1,1)上先增后减；选项C中，y＝ln(x＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y＝ln(x＋1)在(－1,1)上为增函数；选项D中，y＝2－x＝12x在R上为减函数，故y＝2－x在(－1,1)上是减函数．]3．(教材改编)已知函数f(x)＝2x－1，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．225[可判断函数f(x)＝2x－1在[2,6]上为减函数，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝25.]4．函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________.【导学号：51062019】－∞，－12[由题意知2k＋1＜0，得k＜－12.]5．f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的单调增区间为________，f(x)max＝________.[1,3]8[f(x)＝(x－1)2－1，故f(x)的单调增区间为[1,3]，f(x)max＝f(－2)＝8.]函数单调性的判断(1)函数f(x)＝log2(x2－1)的单调递减区间为________．(2)试讨论函数f(x)＝x＋kx(k＞0)的单调性．(1)(－∞，－1)[由x2－1＞0得x＞1或x＜－1，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．令t＝x2－1，因为y＝log2t在t∈(0，＋∞)上为增函数，t＝x2－1在x∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f(x)＝log2(x2－1)的单调递减区间为(－∞，－1)．](2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x1，x2，令0＜x1＜x2，那么f(x2)－f(x1)＝x2＋kx2－x1＋kx1＝(x2－x1)＋k1x2－1x1＝(x2－x1)x1x2－kx1x2.2分因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x1x2＞0.故当x1，x2∈(k，＋∞)时，f(x1)＜f(x2)，即函数在(k，＋∞)上单调递增.6分当x1，x2∈(0，k)时，f(x1)＞f(x2)，即函数在(0，k)上单调递减．考虑到函数f(x)＝x＋kx(k＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k)上单调递增，在(－k，0)上单调递减．综上，函数f(x)在(－∞，－k)和(k，＋∞)上单调递增，在(－k，0)和(0，k)上单调递减.15分法二：f′(x)＝1－kx2.2分令f′(x)＞0得x2＞k，即x∈(－∞，－k)或x∈(k，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k)和(k，＋∞).6分令f′(x)＜0得x2＜k，即x∈(－k，0)或x∈(0，k)，故函数的单调减区间为(－k，0)和(0，k).12分故函数f(x)在(－∞，－k)和(k，＋∞)上单调递增，在(－k，0)和(0，k)上单调递减.15分[规律方法]1.利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底．2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确．易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如本题(1)．[变式训练1](1)(2017·湖州二次调研)下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是()A．y＝x3B．y＝xC．y＝1xD．y＝12x(2)函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间是()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)(1)C(2)D[(1)选项A，B中函数在定义域内均为单调递增函数，选项D为在定义域内为单调递减函数，选项C中，设x1＜x2(x1，x2≠0)，则y2－y1＝1x2－1x1＝x1－x2x1x2，因为x1－x2＜0，当x1，x2同号时x1x2＞0，1x2－1x1＜0，当x1，x2异号时x1x2＜0，1x2－1x1＞0，所以函数y＝1x在定义域上不是单调函数，故选C.(2)由x2－4＞0得x＞2或x＜－2，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为y＝logt在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2－4的单调递减区间，可知所求区间为(－∞，－2)．]利用函数的单调性求最值已知f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)，且a≤1.(1)当a＝12时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．[思路点拨](1)先判断函数f(x)在[1，＋∞)上的单调性，再求最小值；(2)根据f(x)min＞0求a的范围，而求f(x)min应对a分类讨论．[解](1)当a＝12时，f(x)＝x＋12x＋2，f′(x)＝1－12x2＞0，x∈[1，＋∞)，即f(x)在[1，＋∞)上是增函数，∴f(x)min＝f(1)＝1＋12×1＋2＝72.4分(2)f(x)＝x＋ax＋2，x∈[1，＋∞)．法一：①当a≤0时，f(x)在[1，＋∞)内为增函数．f(x)min＝f(1)＝a＋3.要使f(x)＞0在x∈[1，＋∞)上恒成立，只需a＋3＞0，∴－3＜a≤0.7分②当0＜a≤1时，f(x)在[1，＋∞)内为增函数，f(x)min＝f(1)＝a＋3，∴a＋3＞0，a＞－3，∴0＜a≤1.综上所述，f(x)在[1，＋∞)上恒大于零时，a的取值范围是(－3,1].15分法二：f(x)＝x＋ax＋2＞0，∵x≥1，∴x2＋2x＋a＞0，8分∴a＞－(x2＋2x)，而－(x2＋2x)在x＝1时取得最大值－3，∴－3＜a≤1，即a的取值范围为(－3,1].15分[规律方法]利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．请思考，若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数呢？[变式训练2]函数f(x)＝xx－1(x≥2)的最大值为________．2[法一：∵f′(x)＝－1x－12，∴x≥2时，f′(x)＜0恒成立，∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减，∴f(x)在[2，＋∞)上的最大值为f(2)＝2.法二：∵f(x)＝xx－1＝x－1＋1x－1＝1＋1x－1，∴f(x)的图象是将y＝1x的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的．∵y＝1x在[2，＋∞)上单调递减，∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减，故f(x)在[2，＋∞)上的最大值为f(2)＝2.法三：由题意可得f(x)＝1＋1x－1.∵x≥2，∴x－1≥1，∴0＜1x－1≤1，∴1＜1＋1x－1≤2，即1＜xx－1≤2.故f(x)在[2，＋∞)上的最大值为2.]函数单调性的应用☞角度1比较大小(2017·浙江冲刺卷四)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，且在区间[0,1]上是增函数，则()A．f54f53f52B．f53f52f54C．f52f54f53D．f52f53f54D[由f(x－2)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x)，又f(x)为R上的奇函数，从而有f(x＋2)＝f(－x)．则f52＝－f12，f53＝f13，f54＝f34.因为f(x)在区间[0,1]上是增函数，且34130，所以f34f13f(0)＝0，即有f54f530，又f12f(0)＝0，则f52＝－f120，从而有f52f53f54.]☞角度2解不等式已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则不等式f(2x－1)＜f13的x的解集是________.【导学号：51062020】12，23[由题意知2x－1≥0，2x－1＜13，即x≥12，x＜23，所以12≤x＜23.]☞角度3求参数的取值范围(1)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()A.－14，＋∞B.－14，＋∞C.－14，0D.－14，0(2)已知函数f(x)＝a－2x－1，x≤1，logax，x＞1，若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．(1)D(2)(2,3][(1)当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－1a，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a＜0，且－1a≥4，解得－14≤a＜0.综上所述，实数a的取值范围是－14，0.(2)要使函数f(x)在R上单调递增，则有a＞1，a－2＞0，f1≤0，即a＞1，a＞2，a－2－1≤0，解得2＜a≤3，即实数a的取值范围是(2,3]．][规律方法]1.比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．2．解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．3．利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．易错警示：(1)若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．[思想与方法]1．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性判断