§12.7-条件概率与相互独立事件的概率

1§12.7条件概率与相互独立事件的概率(教案)知识点：1．掌握条件概率的定义和公式，会运用条件概率解决问题；2．了解事件的独立性的意义，会求相互独立事件同时发生的概率。（一）课标解读及教学要求：了解互斥事件、对立事件的概念，能判断某两个事件是否是互斥事件、是否是对立事件；了解两个互斥事件概率的加法公式，了解对立事件概率之和为1的结论，会用相关公式进行简单的概率计算。考点：1．互斥事件不能同时发生的两个事件称为互斥事件．一般地：如果事件12,,,nAAA中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,nAAA彼此互斥奎屯王新敞新疆2．互斥事件的概率求法如果事件A，B互斥，那么事件BA发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即)()()(BPAPBAP．一般地，如果事件nAAA,,,21两两互斥，则)()()()(2121nnAPAPAPAAAP．3．对立事件对立事件的概念说明：从盒中任意摸出一个球，若摸出的球不是红的，即事件Ａ没发生，记作A．由于事件Ａ和事件A不可能同时发生，它们是互斥事件．又由于摸出的一个球要么是红球，要么不是红球，即事件Ａ和事件A必有一个发生奎屯王新敞新疆象这种其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件．两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件．事件A的对立事件记为A．对立事件A和A必有一个发生，故AA是必然事件，从而1)()()(APAPAAP．因此，我们可以得到一个重要公式)(1)(APAP．思考：对立事件和互斥事件有何异同？对立事件必然是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件。4.条件概率在解决许多概率问题时,往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.如在事件A发生的条件下,求事件B发生的条件概率,记作)|(ABP.定义1设BA,是两个事件,且0)(AP,则称)()()|(APABPABP(1)为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.相应地，把)(BP称为无条件概率。一般地，)|(ABP)(BP.2注:1.用维恩图表达(1)式.若事件A已发生,则为使B也发生,试验结果必须是既在A中又在B中的样本点,即此点必属于AB.因已知A已发生,故A成为计算条件概率)|(ABP新的样本空间.也即：在)|(ABP中，事件B发生，事件A一定发生，且)()()|(APABPABP2.计算条件概率有两种方法:a)在缩减的样本空间A中求事件B的概率，就得到)|(ABP；b)在样本空间S中，先求事件)(ABP和)(AP，再按定义计算)|(ABP。3.条件概率是概率的特殊情况，具有概率的性质：①非负性：1)|(0ABP；②可加性：如果B和C是两个互斥事件，则)|()|()|)((ACPABPACBP★乘法公式由条件概率的定义立即得到:)0)(()|()()(APABPAPABP(2)注意到BAAB,及BA,的对称性可得到:)0)(()|()()(BPBAPBPABP(3)(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率.5.事件的相互独立性（1）事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，把这两个事件叫相互独立事件。（2）两个相互独立事件都发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即)()()(BPAPABP(3)如果事件nAAA,,21相互独立，那么这n个事件同时发生的概率)()()()(2121nnAPAPAPAAAP注：1如果事件A与B相互独立，那么下列各事件BA与,BA与,BA与都相互独立。2新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆互斥事件与相互独立事件是有区别的：两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆3一、基础训练：1．已知P（AB）=3/10，P（A）=3/5，则P（B|A）=。2．在10个球中有6个红球和4个白球（各不相同），不放回地依次摸出2个球，第一次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是。3．甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率都是0.7，则其中恰有一人击中目标的概率是。4．甲、乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率是0.8，乙击中目标的概率是0.6，则恰有一人击中目标的概率为___________。5．把一枚硬币任意掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件，B=“第二次出现正面”，则P（B|A）=。6．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为。7．乙知A，B，C是三个相互独立事件，若事件A发生的概率为1/2，事件B发生的概率是2/3事件，事件C发生的概率是3/4，则A，B，C均未发生的概率为。8．A，B两地位于西部地区，据多年资料记录，A，B两地一年中下雨天仅占6%和8%，而同时为下雨天的比例为2%，求：（1）A地为雨天且B地为雨天的概率；（2）在A地为雨天的条件下B地为雨天的概率。4例1．盒子中有10张奖券，其中3张有奖，甲、乙先后从中各抽取1张（不放回），记“甲中奖”为A，“乙中奖为B。（1）求P（A），P（B），P（AB），P（A|B）；（2）A与B是否相互独立，说明理由。例2．甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，两人相互间没有影响，计算：（1）两人都击中目标的概率；（2）其中伺有一人击中目标的概率；（3）至少有一人击中目标的概率。例3．甲、乙、丙三位毕业生，分别应聘一个用人单位的不同岗位，他们被选中的概率分别为：甲P（A）=2/5，乙P（B）=3/4，丙P（C）=1/5，且各自能否被选中没有影响。（1）求三人都能被选中的概率；（2）求只有两人被选中的概率；（3）三人中几人被选中的事件最易发生？5例4．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试每人分别都从这10道备选题中随机抽出3题进行测试，于少答对2题才算合格。（1）分别求甲、乙两人考试合格的概率；（2）求甲、乙两人于少有一人考试合格的概率。例5：某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别是10分、100分、200分，答错得零分，假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响。（1）求这名同不得300分的概率；（2）求这名同学至少得300分的概率。例6．如图，用A，B，C三类不同的元件连接成两个系统Nl，N2，当元件A，B，C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B，C中至少有一个正常工作时，系统N2正常工作．已知元件A，B，C正常工作的概率依次是0.80，0.90，0.90．试分别求出系统Nl，N2正常工作的概率P1，P1．6作业：班级姓名学号1．若P（A）=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.2，则P（A|B）=，P（B|A）=。2．已知A与B是相互独立事件，且P（A）=0.3，P（B）=0.6，则P(AB)=。3．在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作，若在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，则在这段时间内线路能够正常工作的概率是。4．某射手在一次射击中命中9环的概率为0.28，使中8环的概率为0.19，命中达不到8环的概率为0.29，这个射手在一次射中命中9环或10环的概率为，两次射击共命中19环以上的概率为。5．从装有4个白球和3个红球的口袋中任意摸3个球，在至少摸到一个白球的条件下摸到3个白球的概率是。6．一次电视抽奖游戏准备了三只抽奖盒，从A，B，C盒中抽得中奖奖券的概率分别是3/4，2/3，1/3。抽奖观众有两次机会，第一次从A盒中抽一次，若中奖，则第二次从B盒中抽一次，若第一次不中奖，则从C盒中再抽一次，则该观众至少中一次奖的机会是。7．在一段时间内，甲去某地的概率为1/4，乙去某地的概率为1/5，分别求在下列情况下甲、乙于少有1人去此地的概率：（1）假定两人中有一人去了另一人就不去；（2）假定两人的行动之间没有影响。78．设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7,0.6和0.5。若三人各向目标射击一次，求：（1）恰有两人命中目标的概率；（2）至少有一人命中目标的概率。9．某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响。（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小数）10．设袋中有4只白球，2只红球，若无放回地抽取3次，每次抽取一只，求：（1）第一次是白球的情况下，第二次与第三次均是白球的概率；（2）第一次和第二次均是白球的情况下，第三次是白球的概率。11．有三种产品，合格率分别是0.90,0.95和0.95，各抽出一件进行检验。（1）求恰有一件不合格的概率；（2）求至少有两件不合格的概率。（精确到0.001）