§14.1-幂级数--数学分析课件(华师大-四版)-高教社ppt-华东师大教材配套课件

一、幂级数的收敛区间二、幂级数的性质三、幂级数的运算§1幂级数数学分析第十四章幂级数*点击以上标题可直接前往对应内容一般项为幂函数的函数项级数称为幂级数,这是一类最简单的函数项级数.幂级数在级数理论中有着特殊的地位,在函数逼近和近似计算中有重要应用,特别是函数的幂级数展开为研究非初等函数提供了有力的工具.0()nnaxx数学分析第十四章幂级数高等教育出版社幂级数的一般形式为20010200()()()nnnaxxaaxxaxx为方便起见,下面将重点讨论00x的情形.20120.(2)nnnnnaxaaxaxax0,xx因为只要把(2)中的x换成就得到(1).幂级数的收敛区间后退前进目录退出§1幂级数幂级数的收敛区间幂级数的性质幂级数的运算0()(1)nnaxx即首先讨论幂级数(2)的收敛性.除了x=0之外,幂级数(2)还有其他收敛点吗？数学分析第十四章幂级数高等教育出版社定理14.1（阿贝尔定理）若幂级数(2)在收敛,0xx则对满足不等式||||xx的任何x,幂级数(2)发散.20120(2)nnnnnaxaaxaxax的任何x,||||xx则对满足不等式xx时发散,若幂级数(2)在§1幂级数幂级数的收敛区间幂级数的性质幂级数的运算幂级数(2)收敛而且绝对收敛;数学分析第十四章幂级数高等教育出版社即存在某正数M,使得||(0,1,2,).nnaxMn||||,xxx对任意一个满足不等式的设1,xrx则有||nnax由于级数0nnMr收敛,证0,nnnax设级数收敛(2)当||||xx时绝对收敛.§1幂级数幂级数的收敛区间幂级数的性质幂级数的运算且有界,{}nnax从而数列收敛于零故由优级数判别法知幂级数||nnnnnnnxxaxaxxx.nMr数学分析第十四章幂级数高等教育出版社设幂级数(2)在xx时0x0||||xx如果存在一个,满足不等式,且使级数00nnnax收敛,(2)应该在xx时绝对收敛,与假设矛盾.切满足不等式||||,xxx的幂级数(2)都发散.注由定理14.1知道:幂级数(2)的收敛域是以原点为中心的区间！间的长度,§1幂级数幂级数的收敛区间幂级数的性质幂级数的运算发散,则由定理得第一部分知,所以对一下面证明定理的第二部分.幂级数这是非常好的性质.若以2R表示区则称R为幂级数的收敛半径.数学分析第十四章幂级数高等教育出版社事实上,收敛半径就是使得幂级数(2)收敛的所有点的绝对值的上确界.0R0x(i)当时,幂级数(2)仅在处收敛;(ii),(2)(,);R当时幂级数在上收敛(iii)0,(2)(,);RRR当时幂级数在内收敛xRx对一切满足不等式的,幂级数(2)都发散;xR至于,(2)可能收敛也可能发散.为幂级数(2)的收敛区间.怎样求得幂级数(2)的收敛半径和收敛区间呢?§1幂级数幂级数的收敛区间幂级数的性质幂级数的运算20120(2)nnnnnaxaaxaxax所以有因此称(,)RR数学分析第十四章幂级数高等教育出版社定理14.2对于幂级数(2),若lim,(3)nnna则当1(i)0,(2);R时幂级数的收敛半径(ii)0,(2);R时幂级数的收敛半径(iii),(2)0.R时幂级数的收敛半径§1幂级数幂级数的收敛区间幂级数的性质幂级数的运算数学分析第十四章幂级数高等教育出版社0(i)当时,幂级数(2)收敛半径1;R0,||1,xx当时对任何都有(ii)||1x当时,级数发散.,0||1,xxx当时除外的任何都有(iii)§1幂级数幂级数的收敛区间幂级数的性质幂级数的运算证0||,nnnax对于幂级数lim||lim||||||,nnnnnnnaxaxx于是由于根据级数的根式判别法,||1x当时，收敛；级数0||nnnax所以R=0.;R所以数学分析第十四章幂级数高等教育出版社注由定理14.2可知,收敛区间再加该区间端点中使幂级数收敛的点.究竟用比式法还是根式法,可以参考第十二章的相关说明.§1幂级数幂级数的收敛区间幂级数的性质幂级数的运算在第十二章§2第二段曾经指出:1||lim,||nnnaa若则有lim||.nnna因此也可用比式判别法来得出幂级数(2)的收敛半径.一个幂级数的收敛域等于它的数学分析第十四章幂级数高等教育出版社2,nxn级数由于2121(),(1)nnannan例11R(1,1)所以其收敛半径,即收敛区间为;21,n由于级数收敛所21nxxn在时也收敛.以级数的收敛域为[1,1].§1幂级数幂级数的收敛区间幂级数的性质幂级数的运算而当于是级数2nxn22(1)11,,nxnn时有数学分析第十四章幂级数高等教育出版社因此幂级数(4)的收敛区间是(1,1).1x时发散,1x时收敛,敛域是半开区间[1,1).!!nnxnxn与R0R的收敛半径分别为与.例2设有级数2,(4)2nxxxn11limlim1,nnnnanRan由于§1幂级数幂级数的收敛区间幂级数的性质幂级数的运算但级数(4)当照此方法,容易验证级数从而得到级数(4)的收数学分析第十四章幂级数高等教育出版社*定理14.3（柯西-阿达玛(Cauchy-Hadamard)定理）对于幂级数(2),设lim||,(5)nnna则有1(i)0,;R当时收敛半径(ii)0,;R当时(iii),0.R当时注由于上极限(5)总是存在,§1幂级数幂级数的收敛区间幂级数的性质幂级数的运算(5)式得到它的收敛半径.因而任一幂级数总能由数学分析第十四章幂级数高等教育出版社*例3设有级数2342122242121,323232nnnnxxxxxx1lim||,2nnna2R由于所以收敛半径.时,级数都发散,§1幂级数幂级数的收敛区间幂级数的性质幂级数的运算因2x(2,2).故此级数的收敛域为数学分析第十四章幂级数高等教育出版社例4求幂级数2213nnnxn的收敛半径和收敛域.解(i)先求收敛半径.2zx方法1设,21lim|3|nnnRn29xz29xz从而时原级数收敛,原级数发2213nnnxn3.R散,所以的收敛半径为§1幂级数幂级数的收敛区间幂级数的性质幂级数的运算幂级数213nnnzn的收敛半径为2=9lim19,3nnnn数学分析第十四章幂级数高等教育出版社方法2应用柯西-阿达玛定理(,0),nna奇数时由于221lim||lim3nnnnnnan22111lim,3313nnnn所以,收敛半径为3.R3x(ii)再求收敛域.当时,相应的级数都是所以原级数的收敛域为(3,3).§1幂级数幂级数的收敛区间幂级数的性质幂级数的运算求幂级数2213nnnxn的收敛半径和收敛域.223lim13nnnn,因此该级数发散,由于,22133nnnn数学分析第十四章幂级数高等教育出版社定理14.4若幂级数(2)的收敛半径为0R,(,)RR[,](,)abRR区间内任一闭区间上,级数(2)都一致收敛.证max{||,||}(,),xabRR设任一点x,||||.nnnnaxax由于级数(2)在点x绝对收敛,数(2)在[,]ab上一致收敛.§1幂级数幂级数的收敛区间幂级数的性质幂级数的运算则在它的收敛[,]ab那么对于上由优级数判别法得级都有数学分析第十四章幂级数高等教育出版社定理14.5[0,]R则级数(2)在([,0])R或上一致收敛.xR证设级数(2)在时收敛,[0,]nxnnRaRR已知级数收敛,函数列在上§1幂级数幂级数的收敛区间幂级数的性质幂级数的运算若幂级数(2)的收敛半径为R0,)xR时收敛,.nxnnnnRaxaR对于[0,]xR有递减且一致有界,21xxRR即且在xR(或0nxR故由函数项级数的阿贝尔判别法,[0,]R级数(2)在上一致收敛.数学分析第十四章幂级数高等教育出版社例5级数22(1)1(1)(1),(6)22222nnnnxxxxnn由于1112(1)(),12(1)22nnnnnnn所以级数(6)的收敛半径2R,|1|2x(1,3).从而级数(6)的收敛区间为即§1幂级数幂级数的收敛区间幂级数的性质幂级数的运算数学分析第十四章幂级数高等教育出版社(2)1111(1).223nnnnn当x=3时,级数(6)为发散级数211111.223nnnnn于是级数(6)的收敛域为[1,3).1x当时,级数(6)为收敛级数§1幂级数幂级数的收敛区间幂级数的性质幂级数的运算数学分析第十四章幂级数高等教育出版社定理14.6根据一致收敛函数项级数的性质即可以得到幂级数的(i)幂级数(2)的和函数是(,)RR内的连续函数;(ii)若幂级数(2)在收敛区间的左(右)端点上收敛,则其和函数也在这一端点上右(左)连续.幂级数的性质§1幂级数幂级数的收敛区间幂级数的性质幂级数的运算一系列性质.由定理14.4、14.5和13.12立刻可得数学分析第十四章幂级数高等教育出版社2112323(7)nnaaxaxnax231120(8)231nnaaaaxxxxn的收敛区间.定理14.7幂级数(2)与幂级数(7)、(8)具有相同的收敛区间.证只要证明(2)与(7)具有相同的收敛区间即可，§1幂级数幂级数的收敛区间幂级数的性质幂级数的运算先来确定幂级数(2)逐项求积后得到的幂级数在收敛区间(,)RR内逐项求导与因为对(8)逐项求导就得到(2).数学分析第十四章幂级数高等教育出版社由阿贝耳定理(定理14.1)的证明知道,都有0||.nnnaxMr于是1000||||nnnnnnaxaxx0.nnnr根据比式判别法可知级数收敛较原则及上述不等式,就推出幂级数(7)在点0x绝对0x(,)RR由于为中任一点,这就证明了幂级数(7)在(,)RR上收敛.§1幂级数幂级数的收敛区间幂级数的性质幂级数的运算由级数的比收敛(当然也是收敛的!).设00(,),0xRRx,存在正数M与r(r1),对一切正整数n,0,||nMnrx数学分析第十四章幂级数高等教育出版社0,||||.xxxR使得xx时绝对收敛.1||||||,||nnnnnnnnaxaxaxx根据比较原则得幂级数(2)在xx处绝对收敛.与所设幂级数(2)的收敛区间为(,)RR相矛盾.幂级数(7)的收敛区间也是(,).RR其次证明幂级数(7)对一切满足||xR的x都不收敛.如若不然,幂级数(7)在点00(||)xxR收敛,§1幂级数幂级数的收敛区间幂级数的性质幂级数的运算幂级数(7)在,由阿贝尔定理||,nx但是,取时就有这于是则存在2112323(7)nnaaxaxnax数学分析第十四章幂级数高等教育出版社定理14.8(i)f在x可导,且11();nnnfxnax(ii)f在区间[0,]x上可积,证由定理14.7,级数(2),(7),(8)具有相同的收敛半径R.(,)xRR，§1幂级数幂级数的收敛区间幂级数的性质幂级数的运算设幂级数(2)在收敛区间(,)RR上的和函数为f,若x为(,)RR内任意一点,因此,对任意一个则100()d.1xnnnafttxn且总存在正数r,使得|x|rR,根据定理14.4,级数(2),(7)在[-r,r]上一致收敛.