整式的加减讲义

整式（1）一、复习1、列代数式(1)若正方形的边长为a，则正方形的面积是；(2)若三角形一边长为a，并且这边上的高为h，则这个三角形的面积为；(3)若x表示正方体棱长，则正方体的体积是；(4)若m表示一个有理数，则它的相反数是；(5)小明从每月的零花钱中贮存x元钱捐给希望工程，一年下来小明捐款元。2、请观察所列代数式包含哪些运算，有何共同运算特征。二、探究新知1．单项式：通过特征的描述，概括单项式的概念：单项式即由数字和字母的乘积组成的代数式称为单项式。补充，单独一个数字或一个字母也是单项式，如a，5。2．练习：判断下列各代数式哪些是单项式？(1)21x；(2)abc；(3)b2；(4)－5ab2；(5)y；(6)－xy2；(7)－5。3．单项式系数和次数：进一步观察单项式结构，总结出单项式是由数字因数和字母因数两部分组成的。以四个单项式31a2h，2πr，abc，－m为例，说出它们的数字因数是什么？接着说出以上几个单项式的字母因数是什么？各字母指数分别是多少？单项式的次数：是指单项式中所有字母因数的指数和，即所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。例31a2h的次数是3单项式的系数：单项式中的数字因数。如：2xy的系数是2；-5zy的系数是-54．判断下列各代数式是否是单项式。如不是，请说明理由；如是，请指出它的系数和次数。①x＋1；②x1；③πr2；④－23a2b。答：①，因为；②，因为；③，因为；④，因为。5．下面各题的判断是否正确？①－7xy2的系数是7；②－x2y3与x3没有系数；③－ab3c2的次数是0＋3＋2；④－a3的系数是－1；⑤－32x2y3的次数是7；⑥31πr2h的系数是31。通过以上练习及例题，注意以下几点：①圆周率π是常数；②当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写，如x2，－a2b等；③单项式次数只与字母指数有关。三、自我检测1、先填空,再请说出你所列式子有什么特点。（1）、边长为x的正方形的周长是。(2)、一辆汽车的速度是v千米/小时，行驶t小时所走过的路程为千米。(3)、如图正方体的表面积为，体积为。(4)、设n表示一个数，则它的相反数是。(5)、每件a元的上衣,降价20%后的售价是________元.2、指出下列单项式的系数和次数。(1)y9的系数是____次数是；单项式2512R的系数是_____，次数是____。(２)1.3a3·３b的系数是___次数是；单项式－652yx的系数是，次数是．(３)22nm的系数是____次数是；单项式xy5的系数是，次数是。3、-0.5mx4y与6xmy3的次数相同，求m的值.4、下列代数式①1，②232a，③yx261，④2ab，⑤cab，⑥ba3，⑦0，⑧m中，是单项式的是__________________。（只填序号）5、下列说法正确的是（）A、52xy单项式的系数是5，次数是2.B、单项式a的系数为1，次数是0.C、21xy是二次单项式D、ab76单项式的系数为76，次数是2.整式(2)一、复习引入：1．列代数式：(1)长方形的长与宽分别为a、b，则长方形的周长是；(2)某班有男生x人，女生21人，则这个班共有学生人；(3)图中阴影部分的面积为_________；(4)鸡兔同笼，鸡a只，兔b只，则共有头个，脚只。2．观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别。(1)2(a＋b)；(2)21＋x；(3)a＋b；(4)2a＋4b。二、讲授新课：1．多项式：板书由学生自己归纳得出的多项式概念。上面这些代数式都是由几个单项式相加而成的。像这样，几个单项式的和叫做多项式(polynomial)。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项(term)。其中，不含字母的项，叫做常数项(constantterm)。例如，多项式5232xx有三项，它们是23x，－2x，5。其中5是常数项。一个多项式含有几项，就叫几项式。多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。例如，多项式5232xx是一个二次三项式。注意：(1)多项式的次数不是所有项的次数之和；(2)多项式的每一项都包括它前面的符号。2．例题：例1：判断：①多项式a3－a2ｂ＋ab2－b3的项为a3、a2ｂ、ab2、b3，次数为12；②多项式3n4－2n2＋1的次数为4，常数项为1。注意：第(1)题中第二、四项应为－a2b、－b3多项式的次数为最高次项的次数。例2：指出下列多项式的项和次数：(1)3x－1＋3x2；(2)4x3＋2x－2y2。解：略。例3：指出下列多项式是几次几项式。(1)x3－x＋1；(2)x3－2x2y2＋3y2。例4①填空：－45a2b－34ab＋1是次项式，其中三次项系数是，二次项为，常数项为，写出所有的项。②已知代数式2x2－mnx2＋y2是关于字母x、y的三次三项式，求m、n的条件。补充定义：单项式与多项式统称整式(integralexpression)。三、课堂小结：①理解多项式的定义，能说出一个多项式是几次几项式，最高次数是几，分别由哪几项组成，各项的系数分别为多少，常数项为几。②这堂课学习了多项式，与前一节所学单项式合起来统称为整式，使知识形成了系统。五、自我检测1、多项式2532xx是________次_________项式,常数项是___________。2、飞机的无风飞行航速为a千米/时，风速为20千米/时.则飞机顺风飞行4小时的行程是__________千米；飞机逆风飞行3小时的行程是__________千米。3、多项式122xx的各项分别是（）A、1,,22xxB、1,,22xxC、1,,22xxD、1,,22xx4、下列各项式中，是二次三项式的是（）A、22baB、7yxC、25yxD、2223xxyx5、原产量n吨，增产30%之后的产量应为（）A、（1-30%）n吨B、（1+30%）n吨C、n+30%吨D、30%n吨6、下列说法中正确的是（）A.5不是单项式B.2yx是单项式C.2xy的系数是0D.32x是整式7、多项式767543232xyyxyx是_______次_______项式，多项式2－152xy－4yx3是次项式，它的项数为，次数是．8、在代数式222515,1,32,,,1xxxxxx中，整式有（）A.3个B.4个C.5个D.6个整式(3)一、复习引入：请运用加法交换律，任意交换多项式x2＋x＋1中各项的位置，可以得到几种不同的排列方式？在众多的排列方式中，你认为那几种比较整齐？由讨论发现任意交换多项式x2＋x＋1中各项的位置，可以得到六种不同的排列方式，在众多的排列方式中，像x2＋x＋1与1＋x＋x2这样的排列比较整齐。二、讲授新课：1．升幂排列与降幂排列：这两种排列有一个共同点，那就是x的指数是逐渐变小(或变大)的。我们把这种排列叫做升幂排列与降幂排列。例如：把多项式5x2＋3x－2x3－1按x的指数从大到小的顺序排列，可以写成－2x3＋5x2＋3x－1，这叫做这个多项式按字母x的降幂排列。若按x的指数从小到大的顺序排列，则写成－1＋3x＋5x2－2x3，这叫做这个多项式按字母x的升幂排列。上面这些代数式都是由几个单项式相加而成的。像这样，几个单项式的和叫做多项式(polynomial)。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项(term)。其中，不含字母的项，叫做常数项(constantterm)。例如，多项式5232xx有三项，它们是23x，－2x，5。其中5是常数项。一个多项式含有几项，就叫几项式。多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。例如，多项式5232xx是一个二次三项式。注意：(1)多项式的次数不是所有项的次数之和；(2)多项式的每一项都包括它前面的符号。2．例题：例1：游戏：规则：五个学生上前自己选一张卡片，根据教师要求排成一列，下面同学把排列正确的式子写下来。例如：按x降幂排列：＋3x2y2－7xy3＋2y－11x7y5－35x3－11x7y5－35x3＋3x2y2－7xy3＋2y式子：－11x7y5－35x3＋3x2y2－7xy3＋2y例2：把多项式2πr－1＋3πr3－π2r2按r升幂排列。解：按r的升幂排列为：23123rrr。说明：π是数字，不是字母，题目中一次项、二次项、三次项系数分别为2π、－π2、3π。例3：把多项式a3－b3－3a2b＋3ab2重新排列。(1)按a升幂排列；(2)按a降幂排列。解：(1)按a的升幂排列为：322333abaabb。(2)按a的降幂排列为：322333babbaa。想一想：观察上面两个排列，从字母b的角度看，它们又有何特点？例4：把多项式－1＋2πx2－x－x3y用适当的方式排列。分析：题中含有2个字母x和y，而各项中关于x的指数层次较全，因此，选择关于x的升(降)幂排列较为合理。解：按x的升幂排列为：3221yxxx。例5：把多项式x4－y4＋3x3y－2xy2－5x2y3用适当的方式排列。(1)按字母x的升幂排列得：；(2)按字母y的升幂排列得：。注意：(1)重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动；(2)含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列。三、课堂小结：对一个多项式进行排列，这样的写法除了美观之外，还会为今后的计算带来方便。在排列时我们要注意：①重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动，原首项省略的“＋”号交换到后面时要添上；②含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母升(降)幂排列。整式的加减(1)一、复习引入：1、创设问题情境⑴、5个人+8个人=⑵、5只羊+8只羊=⑶、5个人+8只羊=2、整理文具盒3、观察下列各单项式，把你认为相同类型的式子归为一类。8x2y，－mn2，5a，－x2y，7mn2，83，9a，－32xy，0，0.4mn2，95，2xy2。二、讲授新课：1．同类项的定义：我们常常把具有相同特征的事物归为一类。8x2y与－x2y可以归为一类，2xy2与－32xy可以归为一类，－mn2、7mn2与0.4mn2可以归为一类，5a与9a可以归为一类，还有83、0与95也可以归为一类。8x2y与－x2y只有系数不同，各自所含的字母都是x、y，并且x的指数都是2，y的指数都是1；同样地，2xy2与－32xy也只有系数不同，各自所含的字母都是x、y，并且x的指数都是1，y的指数都是2。像这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项(similarterms)。另外，所有的常数项都是同类项。比如，前面提到的83、0与95也是同类项。2．例题：例1：判断下列说法是否正确，正确地在括号内打“√”，错误的打“×”。(1)3x与3mx是同类项。()(2)2ab与－5ab是同类项。()(3)3x2y与－31yx2是同类项。()(4)5ab2与－2ab2c是同类项。()(5)23与32是同类项。()例2：指出下列多项式中的同类项：(1)3x－2y＋1＋3y－2x－5；(2)3x2y－2xy2＋31xy2－23yx2。例3：k取何值时，3xky与－x2y是同类项？例4：若把(s＋t)、(s－t)分别看作一个整体，指出下面式子中的同类项。(1)31(s＋t)－51(s－t)－43(s＋t)＋61(s－t)；(2)2(s－t)＋3(s－t)2－5(s－t)－8(s－t)2＋s－t。例5：若2amb2m+3n与a2n－3b8的和仍是一个单项式，则m与n的值分别是______例6：请写出2ab2c3的一个同类项．你能写出多少个?它本身是自己的同类项吗?三、课堂小结：①理解同类项的概念，会在多项式中找出同类项，会写出一个单项式的同类项，会判断同类项。②这堂课运用到分类思想和整体思想等数学思想方法。③学习同类项的用途是为了简化多项式，为下一课的合并同类项打下基础。四、自我检测1、指出下列多项式中的同类项：(1)3x－2y＋1＋3y－