2018年2卷理科数学word版

理科数学试题第1页（共6页）绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．1212ii（）A．4355iB．4355iC．3455iD．3455i2．已知集合223AxyxyxyZZ，≤，，，则A中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．43．函数2xxeefxx的图象大致为（）4．已知向量a，b满足||1a，1ab，则(2)aabA．4B．3C．2D．0理科数学试题第2页（共6页）5．双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为3，则其渐近线方程为A．2yxB．3yxC．22yxD．32yx6．在ABC△中，5cos25C，1BC，5AC，则ABA．42B．30C．29D．257．为计算11111123499100S，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入A．1iiB．2iiC．3iiD．4ii8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A．112B．114C．115D．1189．在长方体1111ABCDABCD中，1ABBC，13AA，则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为A．15B．56C．55D．2210．若()cossinfxxx在[,]aa是减函数，则a的最大值是A．π4B．π2C．3π4D．π11．已知()fx是定义域为(,)的奇函数，满足(1)(1)fxfx．若(1)2f，开始0,0NTSNTS输出1i100i1NNi11TTi结束是否理科数学试题第3页（共6页）则(1)(2)(3)(50)ffffA．50B．0C．2D．5012．已知1F，2F是椭圆22221(0)xyCabab：的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，12PFF△为等腰三角形，12120FFP，则C的离心率为A．23B．12C．13D．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线2ln(1)yx在点(0,0)处的切线方程为__________．14．若,xy满足约束条件250,230,50,xyxyx≥≥≤则zxy的最大值为__________．15．已知sincos1αβ，cossin0αβ，则sin()αβ__________．16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为45°，若SAB△的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）记nS为等差数列{}na的前n项和，已知17a，315S．（1）求{}na的通项公式；（2）求nS，并求nS的最小值．理科数学试题第4页（共6页）18．（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．20002001200220032004200520062007200820092010201120122013201420152016年份200406080100120140160180200220240投资额14192535374242475356122129148171184209220为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,17）建立模型①：ˆ30.413.5yt；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,7）建立模型②：ˆ9917.5yt．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．理科数学试题第5页（共6页）19．（12分）设抛物线24Cyx：的焦点为F，过F且斜率为(0)kk的直线l与C交于A，B两点，||8AB．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．20．（12分）如图，在三棱锥PABC中，22ABBC，4PAPBPCAC，O为AC的中点．（1）证明：PO平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值．PAOCBM理科数学试题第6页（共6页）21．（12分）已知函数2()exfxax．（1）若1a，证明：当0x≥时，()1fx≥；（2）若()fx在(0,)只有一个零点，求a．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos,4sin,xθyθ（θ为参数），直线l的参数方程为1cos,2sin,xtαytα（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）设函数()5|||2|fxxax．（1）当1a时，求不等式()0fx≥的解集；（2）若()1fx≤，求a的取值范围．