第5讲空间杆件结构的有限元法

第5讲空间杆件结构的有限元法第一节局部坐标系下的单元分析第二节空间单元坐标变换第三节空间刚架分析举例第一节局部坐标系下的单元分析图2-1所示为空间刚架中的任一杆件单元。选取局部坐标系时，去形心轴为x轴，横截面的主轴分别为坐标系的y轴和z轴。zyx、、轴的方向按右手定则确定。这样，单元在xy平面内的位移与zx平面内的位移是彼此独立的。设杆截面面积为A，在zx平面内的抗弯刚度为yEI，线刚度lEIiyy；在xy平面内的抗弯刚度为xEI，线刚度lEIixx；杆件的抗扭刚度为lGJ。空间刚架单元的两端分别与结点i和j相联结。每一个结点有六个结点位移分量和六个结点力分量。在局部坐标系下空间杆件的杆端位移列阵e和杆端力列阵eF分别为TzjzjxjjjjziyixiiiiewvuwvuTzjyjxjjjjziyixiiiieMMMZYXMMMZYXF其中u为轴向位移，wv、为横向位移，x为杆件的扭转角，zy、分别为绕y轴和z轴弯曲时的转角；X为杆件单元的轴力，ZY、分别为沿y轴和z轴作用的剪力，zyxMMM、、为作用在杆端的力偶矩。这里力偶矩和角位移的指向按照右手定则用双箭头表示；力和线位移的指向用单箭头表示。图2-1中所示的杆端力和杆端位移为正方向。与平面单元的推导方法一样，首先求出当杆端位移e中的一个分量为1，而其余分量均为零时的杆端力。图2-2所示为当单元○e的i端发生单位位移时，杆端力与杆端位移之间的关系。图中未绘出的杆端力和杆端位移分量，在该情况下数值为零。依同样方法可以确定当单元j端发生单位位移时，杆端力与杆端位移之间的关系。当单元的杆端位移分量为任意值时，可以写出空间单元刚度方程，以矩阵表示为zjyjxjjjjziyixiiiizzzzyyyyyyyyzzzzzzzzyyyyyyyyzzzzzjyjxjjjjziyixiiiiwvuwvulEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlGJlGJlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlGJlGJlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAMMMZYXMMMZYX400060200060040600020600000000000006012000601200600012060001200000000000200060400060020600040600000000000006012000601200600012060001200000000000222223232323222223232323式（2-1）式（2-1）可以简写为eeekF（2-2）其中单元刚度矩阵为lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlGJlGJlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlGJlGJlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAkzzzzyyyyyyyyzzzzzzzzyyyyyyyyzzzze400060200060040600020600000000000006012000601200600012060001200000000000200060400060020600040600000000000006012000601200600012060001200000000000222223232323222223232323（（2-3）式（2-3）为局部坐标系中的空间单元刚度矩阵。它是12阶方阵，其性质也与平面结构的相同。第二节空间单元坐标变换将局部坐标系下的单元刚度矩阵转换为整体坐标系下的单元刚度矩阵，是通过坐标转换矩阵完成的。首先考虑单元○e在端点i的三个杆端力分量，在局部坐标系zyx中，它们是iiiZYX、、；在整体坐标系xyz中，是iiiZYX、、与iiiZYX、、之间的关系。设x轴与x、y、z轴的夹角分别为zxyxxx、、（图2-3），则x轴在xyz坐标系中的方向余弦为),cos(),cos(),cos(zxlyxlxxlzxyxxx将杆端力iiiZYX、、在x轴上投影，可求得杆端力zxiyxixxiilZlYlXX同理可得zziyzixziizyiyyixyiilZlYlXZlZlYlXY综合上三式iiizzyzxzzyyyxyzxyxxxiiiZYXlllllllllZYX(2-4)这就是在端点i由整体坐标系中的杆端力iiiZYX、、推算局部坐标系中杆端力iiiZYX、、的转换关系式。其中两坐标系的转换矩阵（简称“关系矩阵”）为zzyzxzzyyyxyzxyxxxlllllllllt（2-5）参照上述方法，同样可以推出以ziyixiMMM、、表示iziyixMMM、、，以jjjZYX、、表示jjjZYX、、，以zjyjxjMMM、、表示jzjyjxMMM、、的表达式，其转换矩阵也是t。综合以上分析，整体坐标系中的单元杆端力分量列阵F○e与局部坐标系中单元杆端力分量列阵eF之间的关系，可用下时表达eeeFTF（2-6）同理，可导出整体坐标系与局部坐标系杆端位移之间的转换关系eeeT（2-7）在以上两式中ttttTe000000000000（2-8）称为“单元坐标转换矩阵”；它是12×12阶矩阵，是一个正交矩阵，故有eTeTT1（2-9）在平面结构中，确定了单元的两个结点i和j的坐标，就确定了杆件的位置。在空间结构中，仅仅确定两个端点的坐标还不能完全确定刚架杆件在空间的位置，因为相同的ij杆，其截面形心主轴仍可由不同的方向。为确定刚架杆件在空间的确切位置，还需要在杆轴线外在取一点k，以确定其形心主轴的方向。取结构的整体坐标系为xyz，单元局部坐标系为zyx，yO为杆件截面形心主轴之一，如图2-4所示。单元的位置由i、j、k三个点的坐标决定。这里i为单元起始结点号，j为单元终点号，由i、j两点可确定xO的方向。K点在单元所在的yOx平面内，但又不在x轴上，如果刚架上找不到合适的点，可用一个假想的点代替。设i、j、k三点在整体坐标系xyz中的坐标分别为（xi、yi、zi）、(xj、yj、zj)、(xk、yk、zk)，那么如何根据这三个点的坐标值来确定坐标系的关系矩阵t中的九个元素呢？t中的第一行元素较容易确定。如图2-4可得lzzllyyllxxlijzxijyxijxx(2-10)其中l为杆长，可按下式求得222)()()(ijijijzzyyxxl（2-11）设i、j、k分别为三个坐标轴方向的单位矢量，xO轴矢量x可表示为kljlilxzxyxxx（2-12）因为zO轴的矢量z与平面ijk垂直，所以有jkjkjkikikikzzxyxxzzyyxxkjikjkiz)()(（2-13）为后面的运算方便，可设jkjkikikjkjkikikjkjkikikyyxxyyxxXYzzxxzzxxZXzzyyzzyyYZ则有XYkZXjYZiZzO轴的方向余弦为222///lXYllZXllYZlzxyxxx为后面的运算方便，可设jkjkikikjkjkikikjkjkikikyyxxyyxxXYzzxxzzxxZXzzyyzzyyYZ则有XYkZXjYZiZzO轴的方向余弦为222///lXYllZXllYZlzxyxxx式中2222)()()(XYZXYZl（2-16）由于yO轴与xO轴垂直，yO轴与zO轴垂直，且yO的方向余弦之和等于1，于是有10)(0222zyyyxylllkixyxy以上三式可组成联立方程100222zyyyxyikikikzxyxxxzyyyxyzxzyyxyyxxxylllzzyyxxllllllllllll（2-20）解式（2-20）的联立方程，可得333231///lSllSllSlzyyyxy（2-21）式中3222123232221))(1()()()())(1()()()())(1(SSSlzzlyyllxxllSzzllyylxxllSzzllyyllxxlSikzxikyxxxikxxzxikzxyxikyxikxxyxikzxxxikyxxxikxx由式（2-10）、式（2-15）和式（2-21）便可确定坐标关系矩阵t。将式（2-6）和式（2-7）代入式（2-2），化简整理后，可得空间刚架杆件单元整体坐标系中的单元刚度方程eeeTeTkTF（2-22）设eeeTeTkTk（2-23）则eeekF（2-24）ek为空间单元在整体坐标系中的单元刚度矩阵。式（2-23）为两种坐标系的单元刚度矩阵的转换关系式。式（2-24）和式（2-23）在形式上与平面结构的公式一样第三节空间刚架分析举例空间刚架整体刚度矩阵K的形成、结点荷载列阵的形成和支承条件的引入，均与平面刚架的处理方法相同。例2-1试求图2-5a所示空间刚架B结点的位移及各杆内力。设各杆的材料和几何性质相同。./15,10,100.3,102.1,106.2,3.2,005.0,109,101.2454545242mkNqkNPmImImJmlmAGPaGGPaEzy（矩形截面梁在扭转时将发生翘曲。本题中杆件为实体截面，约束所引起的附加正应力已略去，J为“相当极惯性矩”。）解：（1）确定结点，划分单元，建立坐标系。括号内数字为结点位移编号，见（图2-5b）。（2）形成局部坐标系中的单元刚度矩阵ekmkNlEImkNlEIkNlEIkNlEImkNlEImkNlEImkNlEImkNlEImkNEImkNEImkNlGJmkNlEAzyzyzzyyzy/104688.512,/101875.212105626.66,10625.261005.14,1025.52102.44,101.22103.6,1052.21075.9,/10375.433333232433323325将以上数据代入式（2-3），得局部坐标系中的单元刚度矩阵1050000065620525000065620042000262500021000262500009750000097500002625021880002625021880065620005469065620005469000000437500000004375000000656201050000065620000262500042000262500009550000097500002625021880002625021880065620005469065620005469000000437500