徐汇区2010学年第一学期高三数学区期末统测试卷(文科)与评分标准

2010学年第一学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷（文科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分）2011.1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1、函数12log(1)yx的定义域为。2、抛物线24yx的准线方程是。3、方程4220xx的解是。4、若3sin5，则行列式cossinsincos。5、已知向量(2,3),(4,7)ab，则向量b在向量a的方向上的投影为。6、若1nxx展开式的第4项含3x,则n的值为。7、已知无穷等比数列na的各项和为4，则首项1a的取值范围是。8、若函数()()(2)fxxabxa（常数,abR）是偶函数，且它的值域为(,4]，则该函数的解析式()fx。9、一颗骰子投两次,记第一次得到的数值为a,第二次得到的数值为b,将它们作为关于xy、的二元一次方程组322axbyxy，的系数,则方程组有唯一解的概率为。（用数字作答）10、已知函数()yfx存在反函数1()yfx，若函数(1)yfx的图象经过点(3,1)，则函数1()yfx的图象必经过点。11、若函数)1lg()(2axxxf在区间),1(上是增函数，则a的取值范围是。12、在数列na中，13a，点*1(,)(1,)nnaannN在直线30xy上，则2lim(1)nnan=。13、已知x是1，2，3，x，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，2,xy这四个数据的平均数为1，则1yx的最小值为。14、定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的(,),(,)amnbpq，令*abmqnp。给出以下四个命题：（1）若a与b共线，则*0ab；（2）**abba；（3）对任意的R，有()*(*)abab；（4）2222(*)()ababab。（注：这里ab指a与b的数量积）其中所有真命题的序号是。二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。15、已知a，b都是实数，则“ba”是“22ba”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分又不必要条件16、以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程10121011xy的一个法向量的是（）（A）1,2n；（B）2,1n；（C）1,2n；（D）2,1n；17、在直角坐标平面xOy中，已知点(3,2)A，点B在圆221xy上运动，动点P满足APPB，则点P的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）抛物线（D）直线18、函数xxxxeeyee的图像大致为()x1y11OA1xy11OBxyOyOCDx三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。19．（本题满分12分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分。已知关于x的不等式01axx的解集为P，不等式11x的解集为Q。（1）若3a，求P；（2）若PQP，求正数a的取值范围。20．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分。在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sincossincos3sincosCBBCAB。（1）求cosB的值；（2）若2BABC，且22b，求a和c的值。21．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分。设函数(),0,1afxxxx。（1）当2a时，求函数()fx的最小值；（2）当01a时，试判断函数()fx的单调性，并证明。22．（本题满分16分）第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分6分。各项均为正数的数列na的前n项和为nS，满足2*2(1)()nnnSaanN。（1）求数列na的通项公式；（2）若数列nb满足*112,2()nnbbbnN，数列nc满足*,21(),2nnnankckNbnk，数列nc的前n项和为nT，当n为偶数时，求nT；（3）若数列*4(21)()3nnPnN，甲同学利用第（2）问中的nT，试图确定nnTP的值是否可以等于20？为此，他设计了一个程序（如图），但乙同学认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束），你是否同意乙同学的观点？请说明理由。23．（本题满分18分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分。圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦。已知椭圆C：2214xy。（1）过椭圆C的右焦点作一条垂直于x轴的垂轴弦MN，求MN的长度；（2）若点P是椭圆C上不与顶点重合的任意一点，MN是椭圆C的短轴，直线MPNP、分别交x轴于点(,0)EEx和点(,0)FFx（如右图），求EFxx的值；（3）在（2）的基础上，把上述椭圆C一般化为22221(0)xyabab，MN是任意一条垂直于x轴的垂轴弦，其它条件不变，试探究EFxx是否为定值？（不需要证明）；请你给出双曲线22221(0,0)xyabab中相类似的结论，并证明你的结论。EPNMxOF流水号2010学年第一学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断（文科）答题卷2011.1题号一二1920212223总分满分56201214141618150得分请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）1.2.3.4.__5._6.7.__8._9.10.11.12.13.14.二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）本大题必须使用2B铅笔填涂15．[A][B][C][D]16．[A][B][C][D]17．[A][B][C][D]18．[A][B][C][D]三、解答题（本大题共5题，满分74分）19．[解]（1）（2）20．[解]（1）（2）21．[解]（1）（2）22．[解]（1）（2）（3）23．[解]（1）（2）（3）2010学年第一学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷文科试卷参考答案及评分标准（2011.1）一．填空题：1．(,1)2．1x3．0x4.7255．136．97．(0,4)(4,8)8．2()24fxx9．111210．(1,4)11．0a12．313．28314．(1),(3),(4)二．选择题：15．D16．C17．A18．B三．解答题:19．解：（1）3a，由301xx，得301xx…………（2分）所以|13Pxx…………（4分）（2）|11|02Qxxxx…………（6分）0a，∴|1Pxxa…………（8分）,PQPQP…………（10分）所以2a，即a的取值范围是2,…………（12分）20．解：（1）由sincossincos3sincosCBBCAB，得sin3sincosBCAB……2分因为A、B、C是ABC的三内角，所以sinsin0BCA，……5分因此1cos3B……6分（2）1cos23BABCBABCBac，即6ac……9分由余弦定理得2222cosbacacB，所以2212ac，……12分解方程组22612acac，得6ac……14分21．解：（1）当2a时，22()1111fxxxxx…………….2分221…………….4分当且仅当211xx，即21x时取等号，∴min()221fx…………….6分（2）当01a时，任取120xx121212()()()1(1)(1)afxfxxxxx…………….9分∵01a，12(1)(1)1xx，∴1210(1)(1)axx…………….12分∵12xx，∴12()()fxfx,…………….13分即()fx在0,上为增函数…………….14分22．解：（1）211111,2(1)2nSaaa…………….2分221112,2(1)2(1)nnnnnnnSaaSaa，两式相减，得22112nnnnnaaaaa10,1nnnaaa…………….4分na为等差数列，首项为2，公差为1*1()nannN…………….5分（2）nb是首项为2，公比为2的等比数列，*2()nnbnN…………….7分n为偶数时，13124()()nnnTaaabbb…………….8分211()4(14)2214nnnaa224(21)43nnn…………….10分（3）由程序可知，n为偶数，nT224(21)43nnn，4(21)3nnP设nnndABTP224nn…………….13分8n时，22204nn，且n为偶数8n时，20nnTP成立，程序停止。…………….14分乙同学的观点错误。…………….16分23．（1）由条件可知右焦点的坐标为(3,0)…………….1分3x代入椭圆C的方程2214xy，得12y…………….3分所以1MN…………….4分（2）设00(,),(0,1),(0,1),PxyMN则001:1MPylyxx…………….6分令0,y则001Exxy…………….7分同理可得：001Fxxy，20201EFxxxy…………….8分,MP在椭圆C：2214xy上，220014xy，则2200220041()(1)144EFxxxxxx…………….10分（3）点P是椭圆C：22221(0)xyabab上不与顶点重合的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，直线MPNP、分别交x轴于点(,0)EEx和点(,0)FFx，则2EFxxa。………12分点P是双曲线C：22221(0,0)xyabab上不与顶点重合的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，直线MPNP、分别交x轴于点(,0)EEx和点(,0)FFx，则2EFxxa。…………….14分证明如下：设00(,),(,),(,)MmnNmnPxy则00:()MPynlynxmxm令0,y则000Emynxxyn同理可得：000Fmynxxyn，222200220EFmynxxxyn,MP在双曲线C：22221xyab上，2222220022(1),(1)xmnbybaa，则222222022202220222222200222(1)(1)()()(1)(1)EFxmmbbxbxmaaxxaxbmxmbbaaa…………….18分人类在漫长的岁月里，创造了丰富多彩的音乐文化，从古至今，从东方到西方，中国文化艺术，渊源流长。我国最早的歌曲可以追溯到原始社会，例如传说中伏羲时的【网罟之歌】，诗经中的【关关雉鸠】，无论是思想内容，还是艺术形式，都已发展到很高的水平。我们华人音乐有着悠久的历史，有着独特的风格，在世界上，希腊的悲剧和喜剧，印度的梵剧和中国的京剧，被称为【世界三大古老戏剧】，而京剧则是国之瑰宝，是我们华人的骄傲，亦是世界上最璀璨的一颗明珠。你可知道高山流水遇知音的故事？你可知道诸葛亮身居空城，面对敌兵压境，饮酒抚琴的故事？列宁曾经说过：我简直每天都想听奇妙而非凡的音乐