第三章--线性控制系统的能控性和能观性--liyang

第三章线性控制系统的能控性和能观性2020/5/251系统分析包括定量的研究，即研究系统对确定的输入和初始条件之精确响应定性分析，本章即研究系统的两个重要属性――能控性和能观性。2020/5/2523.1能控性和能观性的定义2020/5/253一、对能控性和能观性的直观讨论粗略地讲，系统的输入能否控制状态的转移是个能控性问题；能否由输入和输出的测量值来确定状态是个能观测问题。经典控制理论使用传递函数来研究系统输入－输出关系，输出量就是被控量，只要系统稳定，输出量就可以控制。输出量又总是可量测的。因此，经典控制理论不研究能控性和能观性问题。考虑系统的状态空间描述，则输入和输出构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量。因此，所谓能控性和能观性，就是研究系统这个“黑箱”内部的状态是否可由输入影响和是否可由输出反映。2020/5/254如果黑箱内的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制而由任意的始点达到原点，那么就称系统是能控的，或者更确切地说是状态能控的。否则，就称系统是不完全能控的。对应地，如果黑箱内的所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映，则称系统是状态能观的，简称为能观性。反之，则称系统是不完全能观的。能控性和能观性概念的提出及有关理论的建立，对于现代控制理论的形成至关重要，最优控制、最优估计等许多问题都与之相关。2020/5/25521212160215004xxyuxxxx222116254xyuxxuxx状态变量x1和x2都可通过选择输入u而由始点达到原点，因而系统为完全能控；给定系统的状态空间描述为：但输入y只能反映状态变量x2，状态变量x1和输出y既无直接也无间接关系，所以系统是不完全能观的。举例2020/5/256二、能控性定义J)(,)()(00tttt，xxuBxAxJ为时间定义区间。定义1：对于线性时变系统，如果对取定初始时刻t0J的一个非零初始状态x0，存在一个时刻t1J，t1t0，和一个无约束的容许控制u(t)，t[t0，t1]，使状态由x0转移到t1时x(t1)=0，则称此x0是在t0时刻为能控的。定义2：对于线性时变系统，如果状态空间中的所有非零状态都是在t0(t0J)时刻为能控的，则称系统在时刻t0是完全能控的。定义3：对于线性时变系统，取定初始时刻t0J，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻t0是不能控的，则称系统在时刻t0是不完全能控的。2020/5/257第一，定义中只要求在可找到的输入u的作用下，使t0时刻的非零状态x0在J上的一段有限时间内状态到状态空间的坐标原点，而对于状态转移的轨迹并不加以限制和规定。这就是说，能控性是表征系统状态运动的一个定性特性。几点解释第二，定义中指出的所谓无约束的容许控制，无约束表示对输入的每个分量的幅值不加以限制，即可取为任意大到所要求的值，容许控制则表示输入的所有分量均是在J上平方可积的。第三，上述各定义中都是相对于J中的一个取定时刻t0来定义的，这对于时变系统是完全必要的。如果所考虑的为线性定常系统，则其能控与否和t0时刻的选取无关。2020/5/258第四，上述定义中，都规定为由非零状态转移到零状态，如果将其变更为由零状态达到非零状态，则称这种情况为状态能达的。对于连续的线性定常系统，能控性和能达性是等价的。对于离散系统和时变系统，两者严格地说是不等价的；可以出现这样的情况，系统是不完全能控的，但却是完全能达的。第五，系统为不完全能控的情况是一种“奇异”的情况，系统中组成元件的参数值的很小的变动(这在实际情况中是完全可能的)都可使其成为完全能控。所以，对于一个实际的系统，系统为能控的概率几乎等于1；换句话说，如果随机地选取系数矩阵A和B的元，那么使系统为完全能控的概率几乎等于1。第六，从能控性的定义可以看出，一个对象的完全能控性指愿意让对象做什么就能做什么。如果系统是不能控的，并不是指对象决不能在满意的情况下运行。如果控制系统能维持重要的变量于可接受的区域中，则对象不完全能控这件事是不要紧的。2020/5/259三、能观性定义00)()()(,,)()(xxuDCyuBxAxttxtJtttttdtttt0)()(),(),()(00uBΦxΦx由于输入u为已知，因此只要观测到初始状态x0，就可以求出状态x(t)。因此，对状态的观测可转化为对初始状态的观测。能观性表征状态可由输出的完全反映性，所以应同时考虑系统的状态方程和输出方程：2020/5/2510在研究能观性问题中，输出y和输入u都已假定为已知，只有内部变量即初始状态x0是未知的。因此，若定义：)()()()(),()()()(~0ttdttttttuDuBΦCyy则：)(),()()(~00tttttxΦCy所谓能观性即是研究x0的可由的完全估计性；)(~ty)()()()(),()(),()()(000ttdttttttttuDuBΦCxΦCy2020/5/2511)(~ty00)()(,)(xxCyxAxtxtJtt但是，由于和x0的任意性，所以这又等价于研究u=0时由y来估计x0的可能性，也即系统的零输入方程的能观性：2020/5/2512定义1：对于线性时变系统，如果对取定初始时刻t0J的一个非零初始状态x0，存在一个有限时刻t1J，t1t0，使对所有t[t0，t1]有y(t)=0，则称此x0在时刻t0是不能观的。定义2：对于的线性时变系统，如果状态空间中的所有非零状态都不是时刻t0(t0J)的不能观状态，则称系统在时刻t0是完全能观的。定义3：对于的线性时变系统，取定初始时刻t0J，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻t0是不能观测的，则称系统在时刻t0是不完全能观的。系统为不完全能观的情况也只是一种“奇异”的情况，如果随机地选取系数矩阵A和C的元，那么使系统为完全能观的概率几乎等于1。2020/5/25133.2线性连续系统的能控性判据2020/5/251410)()(,ttTdtttgfgf实列向量f的模(范数)为：21210)()(,ttTdtttfffff其值必为正值。一、Gram(格拉姆)矩阵设f和g为n维实列向量函数，在[t0，t1]区间上连续，则f和g的内积为：2020/5/2515m个n维行向量函数fi，i=1,2,m的Gram矩阵为：10)()(),(10ttTdtttttFFW定理：当且仅当mm常数矩阵W(t0,t1)为非奇异时，函数f1，f2，，fm在[t0,t1]上线性无关。其中，F为mn矩阵，fi是其第i行。2020/5/2516二、时变系统的判据定理：线性时变系统在时刻t0为完全能控的充分必要条件是，存在一个有限的时刻，t1J，t1t0，使得nr矩阵函数(t0,t)B(t)的n行在[t0,t1]上线性无关。2020/5/2517已知(t0,t)B(t)的n行在[t0,t1]上线性无关，则必须证明，系统为状态完全能控。10),()()(),(),(0010cttTTdtttttttttΦBBΦW已知Wc(t0,t1)为非奇异，故其逆存在，因此对任一非零初始状态x0，可构造控制u(t)为：证明(t0,t)B(t)的n行在[t0,t1]上线性无关，等价于nn的常数格拉姆矩阵为非奇异。采用构造性方法来证明],[,),(),()()(1001010tttttttttcTTxWΦBu充分性2020/5/2518而u(t)作用下系统状态x(t)在t1时刻的结果为：10t)t()t()t,(),()(10011ttdttttuBΦxΦx于是，按定义系统为完全能控，充分性得证。10t),(),()()t()t,(),(010101001ttcTTdttttttttxWΦBBΦxΦ－1001010001001),(t),()()t()t,()t,(),(ttcTTttdtttttttxWΦBBΦΦxΦ－010110c01001),(),()t,(),(xWWΦxΦtttttttc－0＝2020/5/2519已知系统为完全能控，欲证(t0,t)B(t)的n行在[t0,t1]上线性无关。采样反证法。必要性反设系统是能控的，但(t0,t)B(t)的n行是线性相关的。这样，就存在一个非零的1n实常数向量，使得：(t0,t)B(t)＝0，t[t0，t1]2020/5/2520)(1tx0另一方面，因系统为完全能控，若选初始状态x0=T，对此非零初始状态，又应成立：10t)t()t()t,(),(1001ttdtttuBΦxΦ10t(t))t()t,()t,(t),(001T01ttdtttuBΦΦαΦ＋10t(t))t()t,(),(0T01ttdtttuBΦαΦ＋以(t0,t1)左乘上式：T0T10t(t))t()t,(0ααuBαΦαα＝＋＝ttdt即＝0。这一结果与前述假设矛盾，因而必要性得证。2020/5/2521uxxtxx100002121判别下列系统的能控性：举例2020/5/2522)()()()(00tddtttAAAA200000!21000),0(ttdtIΦftTTfcdtttBtBttW0),0()()(),0(),0(102112tfffftttttdttttf3350224616120112121416451),0(detffcttW当tf0，detWc(0,tf)0，所以系统能控。2020/5/2523定理：设A(t)和B(t)是(n-1)阶连续可微的，设：)()()()()()()()()()()())()(22111200(10tdtdttttdtdttttdtdtttttnnnMMAMMMAMMMAMBM令Qc(t)=[M0(t)M1(t)Mn-1(t)]，则线性时变系统在时刻t0为完全能控的充分条件是，存在一个有限的时刻，t1J，t1t0，成立rankQc(t1)=n2020/5/2524tttttttdtdtttcc)(det010)(010000)()()(10)(100010QMMQMMAMBM只要t0，rankQc(t)=2系统能控2020/5/2525考虑如下的线性时变系统：5.0],2,0[,110000200103212321tJuxxxttttxxx举例求系统在t0=0.5时刻的能控性。2020/5/252612)(243)()()()(21)()()()(110)()(22211220010ttttttdtdtttttttdtdtttttMMAMMMAMBM因为[M0(t)M1(t)M2(t)]对t=1的秩为3，所以系统在时刻t0=0.5是完全能控的。2020/5/2527系统的状态模型如下，检验其能控性。uxxxtttxxx1100000013212321举例2020/5/252801)(2111210det22422tttttttt对于任意t，rank[M0(t)M1(t)M2(t)]=3，系统是能控的