必修3同步练习题3.2.1、2古典概型的特征和概率计算公式-建立概率模型(含答案)

3.2.1、2古典概型的特征和概率计算公式建立概率模型一、选择题1．下列对古典概型的说法中正确的是()①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件总数为n，若随机事件A包含k个基本事件，则P(A)＝kn.A．②④B．①③④C．①④D．③④[答案]B[解析]②中所说的事件不一定是基本事件，所以②不正确；根据古典概型的定义及计算公式可知①③④正确．2．下列试验是古典概型的是()A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽B．口袋里有2个白球和2个黑球，4球颜色除外完全相同，从中任取一球C．向一个圆面内随机投一点，该点落在圆面内任意一点都是等可能的D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为：命中10环，命中9环，……命中0环[答案]B[解析]对于A，发芽与不发芽概率不同；对于B，摸到白球与黑球的概率相同，均为12；对于C，基本事件有无限个；对于D，由于受射击运动员水平的影响，命中10环，命中9环，…，命中0环的概率不等．因而选B.3．据人口普查统计，育龄妇女生男生女是等可能的，如果允许生育两胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是()A.12B．13C.14D．15[答案]C[解析]事件“该育龄妇女连生两胎”包含4个基本事件，即(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，故两胎均为女孩的概率是14.4．从装有大小相同的3个红球和2个白球的口袋内任取1个球，取到白球的概率为()A.15B．13C.12D．25[答案]D[解析]任取1球，有5种取法，取到1个白球有两种可能，所以取到白球的概率为25.5．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是()A.12B．13C.23D．1[答案]C[解析]列举基本事件，从甲、乙、丙三人中任选两名代表可能的结果是(甲、乙)，(甲、丙)，(乙、丙)，共3种；甲被选中的可能结果是(甲、乙)，(甲、丙)，共2种．所以P(“甲被选中”)＝23.6．(2014·陕西文，6)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为()A.15B．25C.35D．45[答案]B[解析]本题考查了古典概型．“任取2个点”的所有情况有10种．而“距离小于正方形边长”的情况有4种(OA，OB，OC，OD)，所求概率为410＝25.正确找出事件空间是关键．二、填空题7．盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别，现有10个人依次摸出1个球，设第一个摸出的1个球是黑球的概率为P1，第十个人摸出黑球的概率是P10，则P1与P10的关系是________．[答案]P10＝P1[解析]第一个人摸出黑球的概率为110，第10个人摸出黑球的概率也是110，所以P10＝P1.8．先后从分别标有数字1,2,3,4的4个大小，形状完全相同的球中，有放回地随机抽取2个球，则抽到的2个球的标号之和不大于5的概率等于________．[答案]58[解析]基本事件总数为以下16种情况：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，其中抽到的2个球的标号之和不大于5的情况有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(4,1)，共10种，所以所求概率为1016＝58.三、解答题9．某班数学兴趣小组有男生三名，分别记为a1、a2、a3，女生两名，分别记为b1、b2，现从中任选2名学生去参加校数学竞赛．(1)写出这种选法的基本事件空间；(2)求参赛学生中恰有一名男生的概率；(3)求参赛学生中至少有一名男生的概率．[解析](1)从3名男生和2名女生中任选2名学生去参加校数学竞赛，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)(a3，b2)，(b1，b2)}．Ω由10个基本事件组成．(2)用A表示“恰有一名参赛学生是男生”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)}．事件A由6个基本事件组成，故P(A)＝610＝0.6.(3)用B表示“至少有一名参赛学生是男生”这一事件，则B＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)}，事件B由9个基本事件组成，故P(B)＝910＝0.9.一、选择题1．将一枚质地均匀的硬币先后抛三次，恰好出现一次正面朝上的概率为()A.12B．14C.38D．58[答案]C[解析]总事件数为8个，分别为：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．“恰好出现1次正面朝上”的事件为事件A，包括(正，反，反)，(反，正，反)和(反，反，正)3个．所以，所求事件的概率为38.2．欲寄出两封信，现有两个邮箱供选择，则两封信都投到一个邮箱的概率是()A.12B．14C.34D．38[答案]A[解析]可记两封信为1、2，两个邮箱为甲、乙，则寄出两封信，有两个邮箱供选择，有以下几种结果：1放在甲中，而2放在乙中；2放在甲中，而1放在乙中，1、2均放在甲中；1、2均放在乙中．由上可知，两封信都投到一个邮箱的结果数为2.所以，两封信都投到一个邮箱的概率为12.二、填空题3．先后抛掷两粒均匀的骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x、y，则log2xy＝1的概率为________．[答案]112[解析]要使log2xy＝1，必须满足2x＝y，即其中一粒骰子向上的点数是另一粒骰子向上点数的2倍，抛掷两粒均匀的骰子，共有36种等可能结果，其中构成倍数关系的点数是1与2、2与4、3与6共三种不同情况，故所求概率为P＝336＝112.4．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为________．[答案]0.2[解析]“从中一次随机抽取2根竹竿”的所有可能结果为(2.5,2.6)、(2.5,2.7)、(2.5,2.8)、(2.5，2.9)、(2.6,2.7)、(2.6,2.8)、(2.6,2.9)、(2.7,2.8)、(2.7,2.9)、(2.8,2.9)，共10种等可能出现的结果，又“它们的长度恰好相差0.3m”包括：(2.5,2.8)、(2.6,2.9)2种可能结果，由古典概型的概率计算公式可得所求事件的概率为0.2.三、解答题5．(2014·天津文，15)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．[分析]列举出从6个不同元素中选出2个的所有可能结果，找出事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”对应的基本事件，由古典概型的概率公式求解．[解析](1)从6名同学中随机选出2人，共有{(A，B)，(A，C)，(A，X)，(A，Y)，(A，Z)，(B，C)，(B，X)，(B，Y)，(B，Z)，(C，X)，(C，Y)，(C，Z)，(X，Y)，(X，Z)，(Y，Z)}共15种．(2)M含基本事件为{(A，Y)，(A，Z)，(B，X)，(B，Z)，(C，X)，(C，Y)}共6种，∴P(M)＝615＝25.6．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等．(1)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率；(2)求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率．[解析]设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x，y，用(x，y)表示抽取结果，则所有可能有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16种．(1)所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，共6种．故所求概率P＝616＝38.答：取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为38.(2)所取两个球上的数字和能被3整除的结果有(1,2)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，共5种．故所求概率为P＝516.答：取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率为516.7.用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：(1)3个矩形颜色都相同的概率；(2)3个矩形颜色都不同的概率．[解析]读懂题意，研究是否为古典概型，列出所有可能情况，找到事件A包含的可能情况，所有可能的情况共有27个，如图所示，据图可得结论．(1)记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A，由图知，事件A的可能情况有1×3＝3个，故P(A)＝327＝19.(2)记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图可知，事件B的可能情况有2×3＝6个，故P(B)＝627＝29.