高三数学一轮复习2-4-函数的奇偶性、周期性、对称性

第4课时函数的奇偶性与周期性…2019考纲下载…1．了解函数奇偶性的含义．2．会运用基本初等函数的图像分析函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．请注意函数的奇偶性在高考中占有重要的地位，在命题时主要是与函数的概念、图像、性质综合在一起考查．而近几年的高考中加大了对非三角函数的周期性和抽象函数的奇偶性、周期性的考查力度．课前自助餐奇函数、偶函数、奇偶性对于函数f(x)，其定义域关于原点对称：(1)如果对于函数定义域内任意一个x，都有___________，那么函数f(x)就是奇函数；(2)如果对于函数定义域内任意一个x，都有__________，那么函数f(x)就是偶函数；(3)如果一个函数是奇函数(或偶函数)，那么称这个函数在其定义域内具有奇偶性．f(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)证明函数奇偶性的方法步骤(1)确定函数定义域关于_____对称；(2)判定f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，从而证得函数是奇(偶)函数．原点奇偶函数的性质(1)奇函数图像关于_____对称，偶函数图像关于_____对称；(2)若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)＝____；(3)若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性______；若偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性_____．(4)若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)，反之也成立．原点y轴0一致相反一些重要类型的奇偶函数(1)函数f(x)＝ax＋a－x为___函数，函数f(x)＝ax－a－x为___函数；(2)函数f(x)＝ax－a－xax＋a－x＝a2x－1a2x＋1(a0且a≠1)为___函数；(3)函数f(x)＝loga1－x1＋x为___函数；(4)函数f(x)＝loga(x＋x2＋1)为___函数．偶奇奇奇奇5.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.f(x＋T)＝f(x)存在一个最小注意：并不是所有函数都有最小正周期，比如f(x)=5.y=f(x)图像关于直线x=a对称f(x)=f(2a-x)f(a-x)=f(a+x)y=f(x)图像关于直线x=0对称f(x)=f(-x)特例：a=0（1）轴对称性思考？若y=f(x)满足f(a-x)=f(b+x),则函数图像关于对称a+b2x=直线xa6、函数的对称性（2）中心对称性f(x)=-f(2a-x)或f(a-x)=-f(a+x)y=f(x)图像关于(a,0)中心对称f(a+x)=2b-f(a-x)f(2a-x)=2b-f(x)或y=f(x)图像关于(a,b)中心对称若y=f(x)满足f(a-x)=-f(b+x),若y=f(x)满足f(a-x)=2c-f(b+x),则函数图像关于对称a+b2(,0)点则函数图像关于对称a+b2(,c)点授人以渔题型一判断函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性，并证明．(1)f(x)＝x3＋x；(2)f(x)＝x3＋x＋1；(3)f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1，4]；(4)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(5)f(x)＝1－x2|x＋2|－2；(6)f(x)＝(x－1)1＋x1－x，x∈(－1，1)．22,0,(7)(),0,xxxfxxxx222,0,(8)()2,0,xxxfxxxx【解析】(3)由于f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1，4]的定义域不是关于原点对称的区间，因此，f(x)是非奇非偶函数．(4)函数的定义域x∈(－∞，＋∞)，关于原点对称．∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数．(5)去掉绝对值符号，根据定义判断．由1－x2≥0，|x＋2|－2≠0，得－1≤x≤1，x≠0且x≠－4.故f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称，且有x＋20.从而有f(x)＝1－x2x＋2－2＝1－x2x，这时有f(－x)＝1－（－x）2－x＝－1－x2x＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(6)已知f(x)的定义域为(－1，1)，其定义域关于原点对称．∵f(x)＝(x－1)1＋x1－x＝－（1－x）（1＋x），∴f(－x)＝－（1＋x）（1－x）＝f(x)．即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．请学生思考，本题中若将条件x∈(－1，1)去掉还是偶函数吗？(答：不是)【答案】(1)奇函数(2)非奇非偶函数(3)非奇非偶函数(4)奇函数(5)奇函数(6)偶函数(3)f(x)＝x2＋x，x0，－x2＋x，x0.解当x0时，－x0，f(x)＝－x2＋x，∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)；当x0时，－x0，f(x)＝x2＋x，∴f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x).∴对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，均有f(－x)＝－f(x).∴函数为奇函数.解析答案思维升华★状元笔记★判断函数的奇偶性的方法(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f(－x)是否等于±f(x)．(2)图像法：奇(偶)函数的充要条件是它的图像关于原点(或y轴)对称．(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)题型二函数奇偶性的应用(1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，x0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的解析式为_____________________________．(2)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)f(13)的x的取值范围是________．(3)若函数f(x＋1)为偶函数，则函数f(x)的图像的对称轴方程为__________．【解析】(1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．当x＝0时，有f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.当x＜0时，－x0.f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1.∴f(x)＝x＋1，x0，0，x＝0，x－1，x＜0.(2)∵偶函数f(x)＝f(|x|)，∴f(2x－1)f(13)，即f(|2x－1|)f(13)．又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴|2x－1|13，解得13x23.(3)∵f(x＋1)为偶函数，∴函数g(x)＝f(x＋1)的图像关于直线x＝0对称．又函数f(x)的图像是由函数g(x)＝f(x＋1)的图像向右平移一个单位而得到，∴函数f(x)的图像关于直线x＝1对称．【答案】(1)f(x)＝x＋1，x0，0，x＝0，x－1，x＜0(2)(13，23)(3)x＝1(2)(2015·课标全国Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝___.(3)若函数f(x－2)为奇函数，f(－2)＝0且在区间[－2，＋∞)上单调递减，则f(3－x)0的解集为________．典例(1)若函数f(x)＝k－2x1＋k·2x在定义域上为奇函数，则实数k＝____.典例(1)若函数f(x)＝k－2x1＋k·2x在定义域上为奇函数，则实数k＝____.易错分析解题中忽视函数f(x)的定义域，直接通过计算f(0)＝0得k＝1.由f(－x)＋f(x)＝0可得k2＝1，∴k＝±1.答案±1解析∵f(－x)＝k－2－x1＋k·2－x＝k·2x－12x＋k，∴f(－x)＋f(x)＝k－2x2x＋k＋k·2x－1·1＋k·2x1＋k·2x2x＋k＝k2－122x＋11＋k·2x2x＋k.(2)(2015·课标全国Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝___.解析f(x)为偶函数，则ln(x＋a＋x2)为奇函数，所以ln(x＋a＋x2)＋ln(－x＋a＋x2)＝0，即ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1.1解析答案★状元笔记★应用函数奇偶性可解决的以下三类问题(1)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．(2)解不等式：利用奇偶性与单调性将抽象函数的不等式转化为基本的不等式，进而得出未知数的范围．(3)画函数图像和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像及判断另一区间上的单调性．(3)若函数f(x－2)为奇函数，f(－2)＝0且在区间[－2，＋∞)上单调递减，则f(3－x)0的解集为________．【解析】∵f(x－2)为奇函数，∴f(x－2)图像对称中心为(0，0)．又∵f(x)图像可由f(x－2)图像向左平移两个单位而得，∴f(x)关于(－2，0)中心对称，∵f(x)在[－2，＋∞)上减，∴f(x)在(－∞，－2]上也减，∴3－x－2，∴解集为(5，＋∞)．【答案】(5，＋∞)抽象函数的奇偶性题型三函数的周期性设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)．【解析】(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.从而求得x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)＝0.【答案】(1)略(2)f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4](3)0★状元笔记★高考中对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值，以及解决与周期有关的函数综合问题．解决此类问题的关键是充分利用题目提供的信息，找到函数的周期，利用周期在有定义的范围上进行求解．函数周期性的三个常用结论：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a0)．（1）（2）（1）（2）题型四函数的对称性(2016·课标全国Ⅱ，理)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝x＋1x与y＝f(x)图像的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则∑mi＝1(xi＋yi)＝()A．0B．mC．2mD．4m【解析】因为f(x)＋f(－x)＝2，y＝x＋1x＝1＋1x，所以函数y＝f(x)与y＝x＋1x的图像都关于点(0，1)对称，所以∑mi＝1xi＝0，∑mi＝1yi＝m2×2＝m，故选B.【答案】B★状元