人教版九年级数学圆和正多边形专题

圆和正多边形教学目标：了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形。教学重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系。教学难点：理解四者：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．正多边形是轴对称图形，正n边形有n条对称轴；正2n边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对角线交点。知识结构及知识点：1、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。2、正多边形的外接圆：一个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。正n边形每一个内角的度数为：(n-2)*180°/n正n边形的一个中心角的度数为：360°/n正多边形的中心角与外角的大小相等。3、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和相等，都是180°。4、圆内接正n边形的性质（n≥3，且为自然数）：(1)当n为奇数时，圆内接正n边形是轴对称图形，有n条对称轴；但不是中心对称图形。(2)当n为偶数时，圆内接正n边形即是轴对称图形又是中心对称图形，对称中心是正多边形的中心，即外接圆的圆心。5、常见圆内接正多边形半径与边心距的关系：(设圆内接正多边形的半径为r，边心距为d)（1）圆内接正三角形：d=12r（2）圆内接正四边形：d=22r（3）圆内接正六边形：d=32r6、常见圆内接正多边形半径r与边长x的关系：（1）圆内接正三角形：x=3r（2）圆内接正四边形：x=22r（3）圆内接正六边形：x=r7、正多边形的画法：画正多边形一般与等分圆正多边形周有关，要做半径为R的正n边形，只要把半径为R的圆n等分，然后顺次连接各点即可。（1）用量角器等分圆周。（2）用尺规等分圆（适用于特殊的正n边形）。8、定理1：把圆分成n(n≥3)等份：(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多迫形；②经过圆的n(n≥3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边。．(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件。(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形。定理2：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。经典例题例1、已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积。分析：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的。重点例题：已知⊙O和⊙O上的一点A(如图24-3-1).(1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；(2)在(1)题的作图中，如果点E在弧AD上，求证：DE是⊙O内接正十二边形的一边.FDECBAOM图24-3-1思路分析：求作⊙O的内接正六边形和正方形，依据定理应将⊙O的圆周六等分、四等分，而正六边形的边长等于半径；互相垂直的两条直径由垂径定理知把圆四等分.要证明DE是⊙O内接正十二边形的一边，由定理知，只需证明DE所对圆心角等于360°÷12＝30°.(1)作法：①作直径AC;②作直径BD⊥AC;③依次连结A、B、C、D四点,四边形ABCD即为⊙O的内接正方形;④分别以A、C为圆心，OA长为半径作弧，交⊙O于E、H、F、G;⑤顺次连结A、E、F、C、G、H各点.六边形AEFCGH即为⊙O的内接正六边形.(2)证明：连结OE、DE.∵∠AOD＝4360＝90°，∠AOE＝6360＝60°，∴∠DOE＝∠AOD－∠AOE＝30°.∴DE为⊙O的内接正十二边形的一边.考点例题（中考）：如图24-3-3，在桌面上有半径为2cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？图24-3-3思路分析：设三个圆的圆心为O1、O2、O3，连结O1O2、O2O3、O3O1，可得边长为4cm的正△O1O2O3，设大圆的圆心为O，则点O是正△O1O2O3的中心，求出这个正△O1O2O3外接圆的半径，再加上⊙O1的半径即为所求.解：设三个圆的圆心为O1、O2、O3，连结O1O2、O2O3、O3O1，可得边长为4cm的正△O1O2O3，则正△O1O2O3外接圆的半径为334cm，所以大圆的半径为334+2=3634(cm).课堂练习：1．如图1所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）．A．60°B．45°C．30°D．22．5°(1)(2)(3)2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（）．A．36°B．60°C．72°D．108°3．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为（）A．18°B．36°C．72°D．144°二、课后巩固1.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为()A.63B.43C.332D.33思路解析：正六边形的两条平行边之间的距离为1，所以边心距为0.5,则边长为33.答案：D2.已知正多边形的边心距与边长的比为21，则此正多边形为()A.正三角形B.正方形C.正六边形D.正十二边形思路解析：将问题转化为直角三角形，由直角边的比知应选B.答案：B3.已知正六边形的半径为3cm，则这个正六边形的周长为__________cm.思路解析：转化为直角三角形求出正六边形的边长，然后用P6＝6an求出周长.答案：184.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于___________度.答案：144.5.如图24-3-2，两相交圆的公共弦AB为23，在⊙O1中为内接正三角形的一边，在⊙O2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.图24-3-2思路分析：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只需求出两圆的半径R3与R6的平方比即可.解：设正三角形外接圆⊙O1的半径为R3，正六边形外接圆⊙O2的半径为R6，由题意得R3=33AB，R6=AB，∴R3∶R6＝3∶3.∴⊙O1的面积∶⊙O2的面积＝1∶3.6.某正多边形的每个内角比其外角大100°，求这个正多边形的边数.思路分析：由正多边形的内角与外角公式可求.解：设此正多边形的边数为n，则各内角为nn180)2(，外角为n360，依题意得nn180)2(-n360＝100°.解得n＝9.（三）、附加题训练例5、在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6．（1）求△ABC的边AB上的高h．（2）设DN=x，且hDNNFhAB，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？（3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．hFDECBANG分析：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值．（3）的设计要有新意，应用圆的对称性就能圆满解决此题．