2018年河南省郑州市高考数学三模试卷(理科)

第1页（共24页）2018年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，3]C．[﹣1，2）D．（﹣1，2）2．（5分）下列命题中，正确的是（）A．B．复数z1，z2，z3∈C，若，则z1=z3C．“a＞0，b＞0”是“”的充要条件D．命题“∃x∈R，x2﹣x﹣2≥0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x﹣2＜0”3．（5分）我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、…、《辑古算经》等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）若x∈（e﹣1，1），a=lnx，，c=elnx，则（）A．b＞c＞aB．c＞b＞aC．b＞a＞cD．a＞b＞c5．（5分）设，则的展开式中常数项是（）A．160B．﹣160C．﹣20D．206．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p=0.8，则输出的n=（）第2页（共24页）A．3B．4C．5D．67．（5分）某几何体的三视图如图所示，记A为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（）A．3∈AB．5∈AC．2∈AD．4∈A8．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，b=4，则△ABC的面积的最大值为（）A．4B．2C．2D．9．（5分）已知数列{an}中，an＞0，a1=1，，a100=a96，则a2018+a3=（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中错误的是（）A．f（x）既是偶函数又是周期函数B．f（x）最大值是1C．f（x）的图象关于点（，0）对称第3页（共24页）D．f（x）的图象关于直线x=π对称11．（5分）已知P为椭圆上一个动点，过点P作圆（x+1）2+y2=1的两条切线，切点分别是A，B，则的取值范围为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数，若正实数a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为（）A．（e，2e+e2）B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设x、y满足约束条件：，则z=x﹣2y的最小值为．14．（5分）已知向量与的夹角为30°，且，，则=．15．（5分）已知A、B、C、D四点在半径为的球面上，且AC=BD=5，AD=BC=，AB=CD，则三棱锥D﹣ABC的体积是．16．（5分）已知双曲线C：﹣=1（b＞a＞0）的右焦点为F，O为坐标原点，若存在直线l过点F交双曲线C的右支于A，B两点，使•=0，则双曲线离心率的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{an}的公差d≠0，其前n项和为Sn，若a2+a8=22，且第4页（共24页）a4，a7，a12成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若，证明：18．（12分）随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如右图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x（单位：吨，100≤x≤150）表示下一个销售季度的市场需求量，T（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（Ⅰ）视x分布在各区间内的频率为相应的概率，求P（x≥120）（Ⅱ）将T表示为x的函数，求出该函数表达式；（Ⅲ）在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如x∈[100，110），则取x=105，且x=105的概率等于市场需求量落入100，110）的频率），求T的分布列及数学期望E（T）．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥DC，AD=DC=AP=2AB=2，点E为棱PC的中点，（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）若点F为棱PC上一点，且BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．第5页（共24页）20．（12分）分别过椭圆E：=1（a＞b＞0）左、右焦点F1、F2的动直线l1、l2相交于P点，与椭圆E分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率分别为k1、k2、k3、k4，且满足k1+k2=k3+k4，已知当l1与x轴重合时，|AB|=2，|CD|=．（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在定点M，N，使得|PM|+|PN|为定值？若存在，求出M、N点坐标，若不存在，说明理由．21．（12分）已知f（x）=lnx，，h（x）=f（x）﹣g（x）（Ⅰ）若a=3，b=2，求h（x）的极值；（Ⅱ）若函数y=h（x）的两个零点为x1，x2（x1≠x2），记，证明：h'（x0）＜0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]第6页（共24页）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为：ρcos2θ=4sinθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于不同的两点A、B，若|AB|=8，求α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．第7页（共24页）2018年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】化简集合A、B，求出A∩B即可．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}=[﹣1，3]，B={x|y=ln（2﹣x）}={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}=（﹣∞，2）；∴A∩B=[﹣1，2）．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．【分析】利用三角函数的有界性判断A的正误；反例判断B的正误；充要条件判断C的正误；命题的否定判断D的正误；【解答】解：因为y=sinx+cosx=sin（x+），所以A不正确；复数z1，z2，z3∈C，若，则z1=z3，反例z1=0，z2=i，z3=2i，所以B不正确；当a，b同号时，“”恒成立，所以C不正确；命题“∃x∈R，x2﹣x﹣2≥0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x﹣2＜0”，满足命题的否定形式，所以D正确．故选：D．【点评】本题考查命题的真假的判断，涉及充要条件，命题的否定，三角函数的最值，复数的胎死腹中的应用，是基本知识的考查．3．第8页（共24页）【分析】求出从10部名著中选择2部名著的方法数、2部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数，由对立事件的概率计算公式，可得结论．【解答】解：从10部名著中选择2部名著的方法数为C102=45（种），2部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数为C32=3（种），由对立事件的概率计算公式得P=1﹣=．故选：A．【点评】本题考查概率的计算，考查组合知识，属于中档题．4．【分析】利用对数函数的单调性判断出a＜0；由于b，c的指数相同，所以研究一个幂函数的单调性；利用幂函数的单调性判断出b，c的大小，b，c都是幂得到b，c全正，比较出a，b，c的大小．【解答】解：∵x∈（e﹣1，1）∴a=lnx＜ln1=0即a＜0考察幂函数f（t）=tlnx∵lnx＜0∴当t＞0时，f（t）是减函数∵∴＞0所以有b＞c＞a故选：A．【点评】本题考查利用对数函数的单调性比较大小、考查利用幂函数的单调性比较大小．5．【分析】先求出a值，再由二项式展开式的通项公式，令x的指数为0，求出常数项．第9页（共24页）【解答】解：a=（﹣cosx）|=﹣cosπ﹣（﹣cos0）=2，（2﹣）6的通项公式为C（2）6﹣r（﹣）r=C26﹣r（﹣1）rx3﹣r，r=0，1，2…4，令3﹣r=0，即r=3，则常数项为C23（﹣1）3=﹣160，故选：B．【点评】本题考查二项式展开式的通项公式，以及微积分基本定理，属于基础题．6．【分析】根据程序框图，依次计算运行的结果，直到不满足条件s＜0.8，即可得到n的值．【解答】解：第一次运行n=1，s=0，满足条件s＜0.8，s==0.5，n=2，第二次运行n=2，s=0.5，满足条件s＜0.8，s=+=0.75，n=3，第三次运行n=3，s=0.75，满足条件s＜0.8，s=0.75+=0.75+0.125=0.875，n=4，此时s=0.875不满足条件s＜0.8输出，n=4，故选：B．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据语句判断框图的流程是解答此类问题的关键，属于基础题．7．【分析】由三视图知该几何体一个直三棱柱切去一个三棱锥所得的几何体，由三视图求出几何元素的长度，判断出线面的位置关系，由勾股定理求出几何体的棱长，即可得到答案．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱柱截去一个三棱锥，四边形ABCD是一个边长为4的正方形，且AF⊥面ABCD，DE∥AF，DE=4，AF=2，∴AF⊥AB、DE⊥DC、DE⊥BD，第10页（共24页）∴EC==4，EF=FB==2，BE===4，∵A为此几何体所有棱的长度构成的集合，∴A={2，4，4，4，2}，故选：D．【点评】本题考查三视图求几何体的棱长，以及线面垂直的定义和勾股定理的应用，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．8．【分析】由已知式子和正弦定理可得B=，再由余弦定理可得ac≤16，由三角形的面积公式可得．【解答】解：∵在△ABC中=，∴（2a﹣c）cosB=bcosC，∴（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，约掉sinA可得cosB=，即B=，由余弦定理可得16=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac，∴ac≤16，当且仅当a=c时取等号，∴△ABC的面积S=acsinB=ac≤4故选：A．【点评】本题考查解三角形，涉及正余弦定理和基本不等式以及三角形的面积公式，属中档题．第11页（共24页）9．【分析】根据关系式递推计算，即可求解．【解答】解：根据，那么：==an可得周期T=4．∵a100=a96，即，解得：a100=a96=那么a2018=a100=a96=．由，那么：a3=．∴a2018+a3==，故选：C．【点评】本题主要考查数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项．以及周期数列的计算．10．【分析】利用函数的周期性、奇偶性、对称性的概念对A、B、C、D四个选项逐一分析即可．【解答】解：A，∵f（x）=cosxsin2x，∴f（﹣x）=cos（﹣x）sin2（﹣x）=cosxsin2x=f（x），∴f（x）是偶函数；又f（x+2π）=cos（x+2π）sin2（x+2π）=cosxsin2x=f（x），f（x）是周期函数；∴f（x）既是偶函数又是周期函数，即A正确；B，∵|cosx|≤1，|sin2x|≤1，二者不能同时取到等号，∴无论x取什么值，f（x）=cosxsin2x均取不到值1，故B错误；第12页（共24页）