拉格朗日插值定理证明

拉格朗日插值定理证明作者：田茂（[e-mail]）已知：110111212211()1...()1...*......................()1...NNNNNNNfxaxxfxaxxfxaxx（1）则有：01111100()1*....()()()NNNNiijiijjiaafxxxaxafxaa（2）证明过程如下：由：()()0iifxafa（3）可知：()()()()iifxfaxagx（4）即有：()()mod()iifxfaxa（5）由中国余数定理（CRT）可知：1()()*()*()niiiifxNxMxfa（6）式（6）中，()iMx满足：1()()nijjjiMxxa（7）()iNx满足：()()()()1iiiiNxMxnxxa（8）即有：()()1mod()iiiNxMxxa（9）由（7）得：111()()()mod()nijjjiniijjjinijijjiMxxaxaaaaaxa（10）如果要满足式（9），由（10）可知，()iNx为：11()inijjjiNxaa（11）将（7）和（11）代入（6）可得：11111100()()*()*()1*()*()()()()niiiinnjinijijjijjiNNiijiijjifxNxMxfaxafaaaxafxaa（12）命题得证。