高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型

选做题部分极坐标系与参数方程一、极坐标系1．极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．2．极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)互化公式题型一极坐标与直角坐标的互化1、已知点P的极坐标为)4,2(，则点P的直角坐标为（）A.（1，1）B.（1，-1）C.（-1，1）D.（-1，-1）2、设点P的直角坐标为(3,3)，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)，则点P的极坐标为（）A．3(32,)4B．5(32,)4C．5(3,)4D．3(3,)43．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是()A．ρ＝cosθB．ρ＝sinθC．ρcosθ＝1D．ρsinθ＝15．曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．6.在极坐标系中，求圆ρ＝2cosθ与直线θ＝π4(ρ0)所表示的图形的交点的极坐标．题型二极坐标方程的应用由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．1.在极坐标系中，已知圆C经过点P(2，π4)，圆心为直线ρsinθ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C的直角坐标方程．2.圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为4，π3，则|CP|＝________.3.在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝1，圆C的圆心的极坐标是C1，π4，圆的半径为1.(i)则圆C的极坐标方程是________；(ii)直线l被圆C所截得的弦长等于________．4.在极坐标系中，已知圆C：ρ＝4cosθ被直线l：ρsinθ－π6＝a截得的弦长为23，则实数a的值是________．二、参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么，x＝ft，y＝gt就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tanα(x－x0)x＝x0＋tcosαy＝y0＋tsinα(t为参数)圆x2＋y2＝r2x＝rcosθy＝rsinθ(θ为参数)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)x＝acosφy＝bsinφ(φ为参数)题型一参数方程与普通方程的互化【例1】把下列参数方程化为普通方程：(1)x＝3＋cosθ，y＝2－sinθ；(2)x＝1＋12t，y＝5＋32t.题型二直线与圆的参数方程的应用1、已知直线l的参数方程为x＝1＋t，y＝4－2t(参数t∈R)，圆C的参数方程为x＝2cosθ＋2，y＝2sinθ(参数θ∈[0,2π])，求直线l被圆C所截得的弦长．2、曲线C的极坐标方程为：ρ=acosθ（a＞0），直线l的参数方程为：（1）求曲线C与直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相切，求a值．3、在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离最小值．综合应用1、曲线25()12xttyt为参数与坐标轴的交点是（）A21(0,)(,0)52、B11(0,)(,0)52、C(0,4)(8,0)、D5(0,)(8,0)9、3、参数方程222sinsinxy（为参数）化为普通方程为（）A．2yxB．2yxC．2(23)yxxD．2(01)yxy3．判断下列结论的正误．(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系()(2)若点P的直角坐标为(1，－3)，则点P的一个极坐标是（2，－π3）()(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的()(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线()4.参数方程为1()2xttty为参数表示的曲线是（）A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线5．与参数方程为()21xttyt为参数等价的普通方程为（）A．214y2xB．21(01)4yx2xC．21(02)4yy2xD．21(01,02)4yxy2x15.参数方程为参数cottan2yx所表示的曲线是（）A．直线B．两条射线C．线段D．圆16.下列参数方程（t是参数）与普通方程yx2表示同一曲线的方程是：()A．xtyt2B．xtytsinsin2C．xtytD．tyttxtan2cos12cos13.由参数方程202tan21sec22为参数，yx给出曲线在直角坐标系下的方程是。4.若直线l的参数方程是xtyt345235（t是参数），则过点（4，－1）且与l平行的直线在y轴上的截距是。5.方程xtyt550350sincos（t是参数）表示的是过点，倾斜角为直线。8.在极坐标系有点M(3,3)，若规定极径＜0,极角[0,2]，则M的极坐标为；若规定极径＜0，极角(-,)，则M的极坐标为.9.OPP12的一个顶点在极点O，其它两个顶点分别为12443521，，，PP，则OPP12的面积为。6．(2013·北京高考)在极坐标系中，点2，π6到直线ρsinθ＝2的距离等于________．7、平面直角坐标系中,将曲线2cos2(sinxy为参数)上的每一点横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍得到曲线1C,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立的极坐标系中,曲线2C的方程为4sin(Ⅰ)求1C和2C的普通方程:(Ⅱ)求1C和2C公共弦的垂直平分线的极坐标方程.8、已知曲线C的极坐标方程是0sin2cos2，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是tytx222221（t为参数）.（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C交于BA,两点，求AB的值.7、已知圆C：x＝1＋cosθ，y＝sinθ(θ为参数)和直线l：x＝2＋tcosα，y＝3＋tsinα(其中t为参数，α为直线l的倾斜角)．(1)当α＝2π3时，求圆上的点到直线l距离的最小值；(2)当直线l与圆C有公共点时，求α的取值范围．28．参数方程cos(sincos)()sin(sincos)xy为参数表示什么曲线？21．点P在椭圆221169xy上，求点P到直线3424xy的最大距离和最小距离。22．已知直线l经过点(1,1)P,倾斜角6，（1）写出直线l的参数方程。（2）设l与圆422yx相交与两点,AB，求点P到,AB两点的距离之积