闭环极点的和与积

自动控制理论方框图CHANG’ANUNIVERSITY长安大学信息工程学院主要内容§4—1根轨迹的基本概念§4—2绘制根轨迹的基本条件和基本规则§4—3广义根轨迹§4—4滞后系统的根轨迹§4—5利用根轨迹分析系统的性能§4—6用MATLAB绘制系统的根轨迹第四章线性系统的根轨迹分析自动控制理论方框图CHANG’ANUNIVERSITY长安大学信息工程学院§4—1根轨迹的基本概念系统特征根的图解方法!!!根轨迹：当系统某一参数在规定范围内变化时，相应的系统闭环特征方程根在s平面上的位置也随之变化移动，一个根形成一条轨迹。广义根轨迹:系统的任意一变化参数形成根轨迹。狭义根轨迹（通常情况）：变化参数为开环增益K，且其变化取值范围为0到∞。问题1:如何按希望性能将闭环极点合适的位置?闭环极点（即闭环特征方程根）闭环控制系统稳定性、瞬态响应特性问题2:当系统的某些参数（如开环增益）变化时，反复求解，不方便,有没有简便分析方法?自动控制理论方框图CHANG’ANUNIVERSITY长安大学信息工程学院)1()()(ssKsHsGKssK)s(R)s(C)s(20Kss)s(D2Ks4121212,14/1＝K2/121ss01s1s2K＝0时4/10K两个负实根K值增加相对靠近移动离开负实轴，分别s=-1/2直线向上和向下移动。K4/1一对共轭复根自动控制理论方框图CHANG’ANUNIVERSITY长安大学信息工程学院根轨迹图系统的相关动静态性能信息4/10K4/1＝K4/1K过阻尼系统，阶跃响应为非周期过程；临界阻尼系统，阶跃响应为非周期过程；欠阻尼系统，阶跃响应为阻尼振荡过程。1）当K值确定之后，根据闭环极点的位置，该系统的阶跃响应指标便可求出。2）闭环极点不可能出现在S平面右半部，系统始终稳定。!系统开环增益确定闭环极点在S平面上的位置也确定。自动控制理论方框图CHANG’ANUNIVERSITY长安大学信息工程学院闭环零、极点与开环零、极点间的关系q1iif1ii'G222221222221G)ps()zs(K)1sTsT)(1sT(s)1ss)(1s(K)s(G前向通道根轨迹增益221221'TTKKGGh1jjl1jj'H)ps()zs(K)s(H反馈通道根轨迹增益前向通道增益h1jjl1jjq1iif1ii')ps()zs()ps()zs(K)s(H)s(G'H'G'KKKizjzipjp开环系统根轨迹增益前向通道零点反馈通道零点前向通道极点反馈通道极点f1il1jji'q1ih1jjif1ih1jji'G)zs()zs(K)ps()ps()ps()zs(K)s(H)s(G1)s(G)s(m个零点(m=f+l)n个极点(n=q+h)m个零点(m=f+l)n个极点(n=q+h)自动控制理论方框图CHANG’ANUNIVERSITY长安大学信息工程学院filjjiqihjjifihjjiGzszsKpspspszsKs11'1111')()()()()()()(3）闭环系统根轨迹增益=开环系统前向通道的根轨迹增益。1）闭环系统的零点=前向通道的零点+反馈通道的极点；2）闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及根轨迹增益均有关；！根轨迹法：由开环系统的零点和极点，不通过解闭环特征方程找出闭环极点。单位反馈系统（1）闭环系统的根轨迹增益就等于开环系统的根轨迹增益；（2）闭环系统的零点就是开环系统的零点。'H'G'KKK自动控制理论方框图CHANG’ANUNIVERSITY长安大学信息工程学院§4—2绘制根轨迹的基本条件和基本规则一、绘制根轨迹的相角条件和幅值条件二、绘制根轨迹的基本规则三、闭环极点的确定自动控制理论方框图CHANG’ANUNIVERSITY长安大学信息工程学院一、绘制根轨迹的相角条件和幅值条件0)s(H)s(G1)s(D1)s(H)s(G根轨迹方程m个零点n个极点（nm）1)ps()zs(K)s(H)s(Gn1iim1ii'1pszsKn1iim1ii'幅值条件1）幅值条件不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关；2）必要条件：n1iim1ii)1k2()ps()zs(幅角条件（k=0,1,2,…）1）幅角条件只与开环零、极点有关2）充要条件：自动控制理论方框图CHANG’ANUNIVERSITY长安大学信息工程学院11ssK幅值条件2sK＝2幅值条件成立！不是根轨迹上的一点27212,1js根轨迹上的一点必要条件：S平面上的某一点s是根轨迹上的点，则幅值条件成立；S平面上的任一点s满足幅值条件，该点却不一定是根轨迹上的点。幅值条件是必要条件自动控制理论方框图CHANG’ANUNIVERSITY长安大学信息工程学院)js)(js)(T/1s(s)/1s(K)1sT2sT)(1sT(s)1s(K)s(H)s(Gdndn1'22221221'TT/KK2nT/122dT112T/1pdn4,3jp/11z)()ps()zs()s(H)s(G432141i1i11ii11开环极点（“×”）p1=0开环零点（“〇”）!!幅角均以反时针方向进行。如果幅角条件成立，则s1即根轨迹上的一个点。1开环零点至s1的幅角1、2、3、4：开环极点至s1的幅角。由幅值条件114131211'zspspspssK幅角条件绘制根轨迹，幅值条件定K值自动控制理论方框图CHANG’ANUNIVERSITY长安大学信息工程学院单位反馈系统的开环传递函数sK)s(G一个开环极点P1=0负实轴上点s1n1i11im1ii180ps|)ps()zs(s2=-1-jn1i12im1ii135ps|)ps()zs(负实轴上都是根轨迹上的点！负实轴外的点都不是根轨迹上的点！举例自动控制理论方框图CHANG’ANUNIVERSITY长安大学信息工程学院二、绘制根轨迹的基本规则一、根轨迹的起点和终点二、根轨迹分支数三、根轨迹的连续性和对称性四、实轴上的根轨迹五、根轨迹的渐近线六、根轨迹的分离点七、根轨迹的起始角和终止角八、根轨迹与虚轴的交点九、闭环特征方程根之和与根之积自动控制理论方框图CHANG’ANUNIVERSITY长安大学信息工程学院一、根轨迹的起点和终点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点幅值条件miiniizspsK11'＝0'Ks值必须趋近于某个开环极点根轨迹起始于开环极点'Ks值必须趋近于某个开环零点根轨迹终止于开环零点自动控制理论方框图CHANG’ANUNIVERSITY长安大学信息工程学院二、根轨迹分支数n阶系统，根轨迹有n个起始点，系统根轨迹有n个分支2）实际物理系统，开环极点一般多于开环零点，即nm。m条终止于开环零点（有限值零点)；（n－m）条根轨迹分支终止于（n－m）个无限远零点。1）系统特征方程的阶次为n次特征方程有n个根K变化(0到∞),n个根随着变化n条根轨迹。自动控制理论方框图CHANG’ANUNIVERSITY长安大学信息工程学院三、根轨迹的连续性和对称性根轨迹是连续曲线，且对称于实轴。闭环特征方程的根在开环零极点已定的情况下，各根分别是K的连续函数；特征方程的根为实根或共轭复数根。仅需先画出S平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部由镜象求得。自动控制理论方框图CHANG’ANUNIVERSITY长安大学信息工程学院四、实轴上的根轨迹如果实轴上某一区段的右边的实数开环零点、极点个数之和为奇数，则该区段实轴必是根轨迹。51ii11ii11)ps()zs()s(H)s(G180)12()()(11ksHsG＝开环零点：z1开环极点：p1、p2、p3、p4、p5在实轴区段[p2，p3]上取试验点s1每对共轭复数极点所提供的幅角之和为360°；s1左边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为0°。s1右边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为180°；？自动控制理论方框图CHANG’ANUNIVERSITY长安大学信息工程学院已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。22)3s)(2s(s)6s)(4s)(1s(K)s(G[-1，-2]右侧实零、极点数=3。[-4，-6]右侧实零、极点数=7。654321oj平面s表示两重极点自动控制理论方框图CHANG’ANUNIVERSITY长安大学信息工程学院五、根轨迹的渐近线mnka180)12(mnzpm1iin1iia＝当系统nm时，有（n－m）条根轨迹分支终止于无限远零点。沿着渐近线趋于无限远处，渐近线也对称于实轴（包括与实轴重合）。渐近线与实轴的倾角（k=0，1，2，…）：渐近线与实轴交点的坐标值：自动控制理论方框图CHANG’ANUNIVERSITY长安大学信息工程学院1)()()()(1111'11'nniinmmiimniimiispsszsKpszsKsHsG证明'1111Kszsspsmmiimnniin长除法'111KszpsmnmiiniimnK’∞时，s∞，取前两项改写为模和相角的形式)12('111kjmnmiiniimneKszps＝两边开（n－m）次方mnkjmnmnmiiniieKszps)12(1'1111＝＋牛顿二项式定理展开，由于s∞，忽略分母为s的二次幂和二次幂以上各项mnkjmnimiinieKszpmns)12(1'1111＝＋aeKeKmnzpsmn1'amn)1k2(jmn1'n1iin1ii＝mnka180)12(mnzpm1iin1iia＝自动控制理论方框图CHANG’ANUNIVERSITY长安大学信息工程学院1）当k值取不同值时，a有（n－m）个值，而a不变；mnka180)12(2）根轨迹在s∞时的渐近线为（n－m）条与实轴交点为a、倾角a为的一组射线。mnzpm1iin1iia＝说明自动控制理论方框图CHANG’ANUNIVERSITY长安大学信息工程学院已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。)5s)(1s(s)4s('K)1s2.0)(1s(s)1s25.0(K)s(G渐近线与实轴正方向的夹角：三个开环极点：0、-1、-5一个开环零点：-4n-m=3-1=2渐近线与实轴交点：113)4()5()1()0(mnzpm1iin1iia＝mn180)1k2(a270、900a根轨迹的渐近线例一自动控制理论方框图CHANG’ANUNIVERSITY长安大学信息工程学院已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。)2s2s)(4s(s)1s(K)s(G2四个开环极点：0、-1+j、-1-j、-4一个开环零点：-1n-m=4-1=3渐近线与实轴交点：3514)1()4()j1()j1()0(mnzpm1iin1iia