一元二次不等式解法(优秀课件)

第三章——不等式[学习目标]1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图象法解一元二次不等式的方法.3.培养数形结合、分类讨论思想方法.3.2一元二次不等式解法（重点）（难点）[预习导引]一元二次不等式的概念(1)一般地，含有一个未知数，且未知数的的整式不等式，叫做一元二次不等式.(2)一元二次不等式的一般表达形式为_________________或(a≠0)，其中a，b，c均为常数.ax2＋bx＋c0最高次数是2ax2＋bx＋c0(a≠0)思考知识点一一元二次不等式的概念不等式x21的解集为{x|x－1或x1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，而不等式的每一个解均属于解集.答案我们知道，方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立.那么你能写出不等式x21的解集吗？[问题导学]梳理(1)形如ax2＋bx＋c0(≥0)或ax2＋bx＋c0(≤0)的不等式(其中a≠0)，叫作一元二次不等式.(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解.(3)一元二次不等式所有解组成的集，叫作一元二次不等式的解集.知识点二“三个二次”的关系思考分析二次函数y＝x2－1与一元二次方程x2－1＝0和一元二次不等式x2－10之间的关系.答案x2－10←――y0y＝x2－1――→y＝0x2－1＝0.判别式△=b2-4acy=ax2+bx+c(a0)的图象ax2+bx+c=0(a0)的根ax2+bx+c0(a0)的解集ax2+bx+c0(a0)的解集△0有两相异实根x1,x2(x1x2){x|xx1,或xx2}{x|x1xx2}△=0△0有两相等实根x1=x2={x|x≠}x1x2xyOyxOΦΦR没有实根yxOx1梳理一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间的关系：梳理口诀：当时若ax2+bx+c=0的根是x1，x2(x1x2)1.ax2+bx+c0的解集是{x|xx1或xx2};口诀：大于取两边，大于大根或小于小根2.ax2+bx+c0的解集是{x|x1xx2}。口诀：小于取中间，大于小根小于大根0a知识点三一元二次不等式的解法思考根据上表，尝试解不等式x2＋23x.先化为x2－3x＋20.∵方程x2－3x＋2＝0的根x1＝1，x2＝2，∴原不等式的解集为{x|x1或x2}.答案解一元二次方程的步骤解形如ax2＋bx＋c0(≥0)或ax2＋bx＋c0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：(1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；(求根)(2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；（作图）(3)由图象得出不等式的解集.（写解集）梳理类型一一元二次不等式的解法命题角度1二次项系数大于0例1求不等式4x2－4x＋10的解集.解答因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，所以方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝，所以原不等式的解集为.12xx≠12题型探究反思与感悟当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式，在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图像.跟踪训练1求不等式2x2－3x－2≥0的解集.解答∵2x2－3x－2＝0的两解为x1＝－，x2＝2，且a＝20，∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是{x|x≤－或x≥2}.1212命题角度2二次项系数小于0例2解不等式－x2＋2x－30.解答不等式可化为x2－2x＋30.因为Δ0，方程x2－2x＋3＝0无实数解，而y＝x2－2x＋3的图像开口向上，所以原不等式的解集是∅.反思与感悟将－x2＋2x－30转化为x2－2x＋30的过程注意符号的变化，这是解本题关键之处.跟踪训练2求不等式－3x2＋6x2的解集.解答不等式可化为3x2－6x＋20，∵Δ＝(－6)2－4×3×2＝120，∴x1＝1－33，x2＝1＋33，∴不等式－3x2＋6x2的解集是{x|1－33x1＋33}.命题角度3含参数的二次不等式例3解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0.当a＜0时，不等式可化为(x－1a)(x－1)＞0，∵a＜0，∴1a＜1，∴不等式的解集为{x|x＜1a或x＞1}.解答当a＞0时，不等式可化为(x－1a)(x－1)＜0.当0＜a＜1时，1a＞1，不等式的解集为{x|1＜x＜1a}.当a＝1时，不等式的解集为∅.当a＞1时，1a＜1，不等式的解集为{x|1a＜x＜1}.综上，当a＜0时，解集为{x|x＜1a或x＞1}；当a＝0时，解集为{x|x＞1}；当0＜a＜1时，解集为{x|1＜x＜1a}；当a＝1时，解集为∅；当a＞1时，解集为{x|1a＜x＜1}.反思与感悟解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论.跟踪训练3解关于x的不等式(x－a)(x－a2)＜0.解答当a＜0或a＞1时，有a＜a2，此时，不等式的解集为{x|a＜x＜a2}；当0＜a＜1时，有a2＜a，此时，不等式的解集为{x|a2＜x＜a}；当a＝0或a＝1时，原不等式无解.综上，当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜a2}；当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|a2＜x＜a}；当a＝0或a＝1时，解集为∅.类型二“三个二次”间对应关系的应用例4已知关于x的不等式x2＋ax＋b0的解集为{x|1＜x＜2}，试求关于x的不等式bx2＋ax＋10的解集.解答由根与系数的关系，可得－a＝1＋2，b＝1×2，即a＝－3，b＝2，∴不等式bx2＋ax＋10，即2x2－3x＋10.由2x2－3x＋10，解得x12或x1.∴bx2＋ax＋10的解集为xx＜12或x＞1.题型探究反思与感悟给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.跟踪训练4已知不等式ax2－bx＋20的解集为{x|1x2}，求a，b的值.解答方法一由题设条件知a0，且1,2是方程ax2－bx＋2＝0的两实根.由根与系数的关系，知1＋2＝ba，1×2＝2a，解得a＝1，b＝3.方法二把x＝1,2分别代入方程ax2－bx＋2＝0中，得a－b＋2＝0，4a－2b＋2＝0，解得a＝1，b＝3.课堂检测A.x－12＜x＜1B.{x|x＞1}C.{x|x＜1或x＞2}D.xx＜－12或x＞11.不等式2x2－x－10的解集是答案解析123√4∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，∴由2x2－x－10，得(2x＋1)(x－1)0，解得x1或x－12，∴不等式的解集为x|x＜－12或x＞1.A.x－23≤x≤12B.xx≤－23或x≥12C.xx≥12D.xx≤－322.不等式－6x2－x＋2≤0的解集是√答案解析1234∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，∴(2x－1)(3x＋2)≥0，∴x≥或x≤.12－233.若不等式ax2＋8ax＋210的解集是{x|－7x－1}，那么a的值是A.1B.2C.3D.4√答案解析1234由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根.∴－7×(－1)＝，故a＝3.21a4.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－40的解集为R，求实数a的取值范围.当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－40，所以a＝2时解集为R.当a－2≠0时，由题意得a－20，Δ0，即a2，4a－22－4a－2－40，1234解答解得－2a2.综上所述，a的取值范围为(－2,2].课堂小结1.解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c0(a0)或ax2＋bx＋c0(a0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；③由图象得出不等式的解集.(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解.当mn时，若(x－m)(x－n)0，则可得xn或xm；若(x－m)(x－n)0，则可得mxn.有口诀如下：大于取两边，小于取中间.2.含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a0，a0，a＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ0).(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1x2，x1＝x2，x1x2.作业布置