江苏省扬州市2020届高三第一次模拟考试数学Word版含答案

2018届高三年级第一次模拟考试(六)数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝1n∑ni＝1(xi－x)2，其中x＝1n∑ni＝1xi.棱锥的体积V＝13Sh，其中S是棱锥的底面积，h是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.若集合A＝{x|1x3}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝________．2.若复数(a－2i)(1＋3i)(i是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为________．3.若数据31，37，33，a，35的平均数是34，则这组数据的标准差是________．4.为了了解某学校男生的身体发育情况，随机抽查了该校100名男生的体重情况，整理所得数据并画出样本的频率分布直方图．根据此图估计该校2000名男生中体重在70～78(kg)的人数为________．(第4题)(第5题)5.运行如图所示的流程图，输出的结果是________．6.已知从2名男生2名女生中任选2人，则恰有1男1女的概率为________．7.若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的体积为________．8.若实数x，y满足x≤4，y≤3，3x＋4y≥12，则x2＋y2的取值范围是________．9.已知各项都是正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若4a4，a3，6a5成等差数列，且a3＝3a22，则S3＝________．10．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线与圆x2＋y2－6y＋5＝0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是________．11．已知函数f(x)＝sinx－x＋1－4x2x，则关于x的不等式f(1－x2)＋f(5x－7)0的解集为________．12．已知正△ABC的边长为2，点P为线段AB中垂线上任意一点，Q为射线AP上一点，且满足AP→·AQ→＝1，则|CQ→|的最大值为________．13．已知函数f(x)＝log12（－x＋1）－1，x∈[－1，k]，－2|x－1|，x∈（k，a]，若存在实数k使得该函数的值域为[－2，0]，则实数a的取值范围是________．14．已知正实数x，y满足5x2＋4xy－y2＝1，则12x2＋8xy－y2的最小值为________．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，AC的中点．(1)证明：B1C1∥平面A1DE；(2)若平面A1DE⊥平面ABB1A1，证明：AB⊥DE.16.(本小题满分14分)已知在△ABC中，AB＝6，BC＝5，且△ABC的面积为9.(1)求AC的长度；(2)当△ABC为锐角三角形时，求cos2A＋π6的值．17.(本小题满分14分)如图，射线OA和OB均为笔直的公路，扇形OPQ区域(含边界)是一蔬菜种植园，其中P，Q分别在射线OA和OB上．经测量得，扇形OPQ的圆心角(即∠POQ)为2π3、半径为1千米．为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ区域外修建一条公路MN，分别与射线OA，OB交于M，N两点，并要求MN与扇形弧PQ相切于点S，设∠POS＝α(单位：弧度)，假设所有公路的宽度均忽略不计．(1)试将公路MN的长度表示为α的函数，并写出α的取值范围；(2)试确定α的值，使得公路MN的长度最小，并求出其最小值.18.(本小题满分16分)已知椭圆E1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，若椭圆E2：x2ma2＋y2mb2＝1(ab0，m1)，则称椭圆E2与椭圆E1“相似”．(1)求经过点(2，1)，且与椭圆E1：x22＋y2＝1“相似”的椭圆E2的方程；(2)若m＝4，椭圆E1的离心率为22，点P在椭圆E2上，过点P的直线l交椭圆E1于A，B两点，且AP→＝λAB→，①若点B的坐标为(0，2)，且λ＝2，求直线l的方程；②若直线OP，OA的斜率之积为－12，求实数λ的值．19.(本小题满分16分)已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ax＋b，a，b∈R.(1)若g(－1)＝0，且函数g(x)的图象是函数f(x)图象的一条切线，求实数a的值：(2)若不等式f(x)x2＋m对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数m的取值范围；(3)若对任意实数a，函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上总有零点，求实数b的取值范围．20.(本小题满分16分)已知各项都是正数的数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝a2n＋an，数列{bn}满足b1＝12，2bn＋1＝bn＋bnan.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}满足cn＝bn＋2Sn，求c1＋c2＋…＋cn的值；(3)是否存在正整数p，q，r(pqr)，使得bp，bq，br成等差数列？若存在，求出所有满足要求的p，q，r的值；若不存在，请说明理由．2018届高三年级第一次模拟考试(六)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21.B.[选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知x，y∈R，若点M(1，1)在矩阵A＝2x3y对应的变换作用下得到点N(3，5)，求矩阵A的逆矩阵A－1.C.[选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是x＝m＋22t，y＝22t(t是参数，m是常数)．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C相交于P，Q两点，且PQ＝2，求实数m的值．22.(本小题满分10分)扬州大学数学系有6名大学生要去甲、乙两所中学实习，每名大学生都被随机分配到两所中学的其中一所．(1)求6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习的概率；(2)设X，Y分别表示分配到甲、乙两所中学的大学生人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．23．(本小题满分10分)二进制规定：每个二进制数由若干个0，1组成，且最高位数字必须为1.若在二进制中，Sn是所有n位二进制数构成的集合，对于an，bn∈Sn，M(an，bn)表示an和bn对应位置上数字不同的位置个数．例如当a3＝100，b3＝101时，M(a3，b3)＝1；当a3＝100，b3＝111时，M(a3，b3)＝2.(1)令a5＝10000，求所有满足b5∈S5，且M(a5，b5)＝2的b5的个数；(2)给定an(n≥2)，对于集合Sn中的所有bn，求M(an，bn)的和．2018届扬州高三年级第一次模拟考试数学参考答案1．{2}2.－63.24.2405.946.237.22π38.14425，259.132710.1，3211．(2，3)12.13＋1213.12，214.7315.解析：(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，四边形B1BCC1是矩形，所以B1C1∥BC.(2分)在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，故BC∥DE，所以B1C1∥DE.(4分)又B1C1⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE.(7分)(2)在平面ABB1A1内，过点A作AF⊥A1D，垂足为F.因为平面A1DE⊥平面A1ABB1，平面A1DE∩平面A1ABB1＝A1D，AF⊂平面A1ABB1，所以AF⊥平面A1DE.(11分)又DE⊂平面A1DE，所以AF⊥DE.在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，所以A1A⊥DE.因为AF∩A1A＝A，AF⊂平面A1ABB1，A1A⊂平面A1ABB1，所以DE⊥平面A1ABB1.因为AB⊂平面A1ABB1，所以DE⊥AB.(14分)16.解析：(1)因为S△ABC＝12AB×BC×sinB＝9，又AB＝6，BC＝5，所以sinB＝35.(2分)又B∈(0，π)，所以cosB＝±1－sin2B＝±45.(3分)当cosB＝45时，AC＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝36＋25－2×6×5×45＝13.(5分)当cosB＝－45时，AC＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝36＋25＋2×6×5×45＝109.所以AC＝13或109.(7分)(2)由△ABC为锐角三角形得B为锐角，所以AB＝6，AC＝13，BC＝5，所以cosA＝36＋13－252×6×13＝213.又A∈(0，π)，所以sinA＝1－cos2A＝313，(9分)所以sin2A＝2×313×213＝1213，cos2A＝2132－3132＝－513，(12分)所以cos2A＋π6＝cos2Acosπ6－sin2Asinπ6＝－53－1226.(14分)17.解析：(1)因为MN与扇形弧PQ相切于点S，所以OS⊥MN.在Rt△OSM中，因为OS＝1，∠MOS＝α，所以SM＝tanα.在Rt△OSN中，∠NOS＝2π3－α，所以SN＝tan2π3－α，所以MN＝tanα＋tan2π3－α＝3（tan2α＋1）3tanα－1，(4分)其中π6απ2.(6分)(2)因为π6απ2，所以3tanα－10.令t＝3tanα－10，则tanα＝33(t＋1)，所以MN＝33t＋4t＋2，(8分)由基本不等式得MN≥33·2t×4t＋2＝23，(10分)当且仅当t＝4t，即t＝2时等号成立.(12分)此时tanα＝3，由于π6απ2，故α＝π3，MN＝23千米．(14分)18.解析：(1)设椭圆E2的方程为x22m＋y2m＝1，代入点(2，1)得m＝2，所以椭圆E2的方程为x24＋y22＝1.(3分)(2)因为椭圆E1的离心率为22，故a2＝2b2，所以椭圆E1：x2＋2y2＝2b2.又椭圆E2与椭圆E1“相似”，且m＝4，所以椭圆E1：x2＋2y2＝8b2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，直线l1：y＝kx＋2，①方法一：由题意得b＝2，所以椭圆E1：x2＋2y2＝8，将直线l：y＝kx＋2，代入椭圆E1：x2＋2y2＝8得(1＋2k2)x2＋8kx＝0，解得x1＝－8k1＋2k2，x2＝0，故y1＝2－4k21＋2k2，y2＝2，所以A－8k1＋2k2，2－4k21＋2k2.(5分)又AP→＝2AB→，即B为AP中点，所以P8k1＋2k2，2＋12k21＋2k2，(6分)代入椭圆E2：x2＋2y2＝32得8k1＋2k22＋22＋12k21＋2k22＝32，即20k4＋4k2－3＝0，即(10k2－3)(2k2＋1)＝0，所以k＝±3010，所以直线l的方程为y＝±3010x＋2.(8分)方法二：由题意得b＝2，所以椭圆E1：x2＋2y2＝8，E2：x2＋2y2＝32，设A(x，y)，B(0，2)，则P(－x，4－y)，代入椭圆得x2＋2y2＝8，x2＋2（4－y）2＝32，解得y＝12，故x＝±302，(6分)所以k＝±3010，所以直线l的方程为y＝±3010x＋2.(8分)②方法一：由题意得x20＋2y20＝8b2，x21＋2y21＝2b2，x22＋2y22＝2b2，y0x0·y1x1＝－12，即x0x1＋2y0y1＝0，因为AP→＝λAB→，所以(x0－x1，y0－y1)＝λ(x2－x1，y2－y1)，解得x2＝x0＋（λ－1）x1λ，y2＝y0＋（λ－1）y1λ，(12分)所以x0＋（λ－1）x1λ2＋2y0＋（λ－1）y1λ2＝2b2，则x20＋2(λ－1)x0x1＋(λ－1)2x21＋2y20＋4(λ－1)y0y1＋2(λ－1)2y21＝2λ2b2，(x20＋2y20)＋2(λ－1)(x0x1＋2y0y1)＋(λ－1)2(x21＋2y21)＝2λ2b2，所