函数傅里叶变换在电路通信中的应用

题目：函数傅里叶变换在物理中的应用姓名董昊煜郑意南刘书琬成梦左晏宁国志浩指导教师苏德矿教授年级大一年级第一部分函数傅里叶变换在电路通信中的应用一、概述：傅里叶变换是指对某一区域内（或周期函数）分段光滑的函数用正、余弦函数的线性组合来近似原函数。当组合的函数项时，便得到一组形如的数项级数，称之为傅里叶级数。其和函数满足，分别表示在x处的左、右极限，故可见当在x处连续时，。由于傅里叶变换可将一些复杂的函数表示成为某区域上的若干简单三角函数（正、余弦函数）的线性组合，使原函数简单化，故可利用傅里叶变换来处理一些复杂的函数。另外，又由于正余弦函数的奇偶性、周期性及其特殊的和差化积与函数变换特性，使得原函数经傅里叶变换后出现许多“好”的性质，便于我们更方便地研究与原函数相关的一些问题。在物理学上，傅里叶变换由于其独特的性质而成为了许多物理技术的理论根据，在如电路及通信方面有着非常广泛的应用。二、傅里叶级数在电信号中的应用：1.事实上，在物理学中，我们常用T表示一个电流或电压信号的周期，用n表示其角频率，则（周期为T）又可表示为：其中，，；（T=2l,）为了便于研究，常将的上述傅里叶展开式写成仅含一种三角函数的形式，则由三角函数加减运算法则有：，其中；或者，其中。2.一些典型电信号的傅里叶级数：（1）周期函数矩形脉冲信号（图1）：可利用傅里叶变换将周期矩形脉冲信号转换为如下形式的傅里叶变换：。该电路信号具有如下特点：频谱离散，相邻两谱线间隔为1个；其直流分量、基波及各谐波分量、大小正比于而反比于；各谱线的幅度按照规律而变化；且有无穷多条谱线，从而周期矩形脉冲信号可分解为无限个三角脉冲信号的线性组合。在上述例子中，我们不难发现，利用三角形式的傅里叶变换，我们将难以求得的周期矩形脉冲信号分解成了若干个余弦电信号的线性叠加。众所周知，我们日常用到的电基本都是正余弦交流电，因此，利用傅里叶展开，我们便能通过对交流电的线性组合来合成周图1期矩形电波，当然随n值的增加，合成波的近似度也会随之提高。理论上，当时，误差充分小，周期矩形波便可由这无限个容易获得的正弦波合成。（2）周期锯齿波信号示波器是实验室中的常用仪器，其工作原理想必大家都不陌生：X轴方向具有扫描电压，作用是将待测电信号“拉开”以便清晰分析其特征。如图，扫描电压即为一种锯齿波电压（当从左到右扫描时，扫至最右须立即返回左侧，减少递程成像使整个图像连续不断）。扫描电压虽然也是周期电压却不能直接由直流电得到，我们仍需借助傅里叶展开来合成，类似可推导出：。由傅里叶展开可知，周期锯齿波状脉冲电压的信号频谱只有正弦分量，谐波幅度以1/n规律收敛。这些特征为电信号设计及分析提供了的帮助与指导。（3）周期半波余弦信号（半波整流信号）同理，可得出半波整流信号的傅里叶展开：，其图像如图。（4）周期全波信号同理，周期全波信号的傅里叶展开为：，其图像如图。以上4种电信号为物理研究中常用的周期脉冲电信号，此外还有很多脉冲信号也是利用傅里叶展开进而进行合成。可见，傅里叶级数在物理中有着广泛应用，对物理学的发展尤其是通讯电信号的传递发面发挥了卓越的作用。第二部分波形的傅里叶分析与应用一、在物理中，因为波的叠加我们可以把复杂的波拆分成简单的波。傅里叶的研究告诉我们，简谐波使我们能用来构成一般波形的最简单波。任何周期波都可以表示为简谐波的叠加。像脉冲波这样的非周期波可以用傅里叶积分表示。所以任何周期运动都可以表示为简谐运动的叠加。应用举例：1.傅里叶变换红外光谱仪,简称为傅里叶红外光谱仪。它不同于色散型红外分光的原理，是基于对干涉后的红外光进行傅里叶变换的原理而开发的红外光谱仪。光源发出的光被分束器（类似半透半反镜）分为两束，一束经透射到达动镜，另一束经反射到达定镜。两束光分别经定镜和动镜反射再回到分束器，动镜以一恒定速度作直线运动，因而经分束器分束后的两束光形成光程差，产生干涉。干涉光在分束器会合后通过样品池，通过样品后含有样品信息的干涉光到达检测器，然后通过傅里叶变换对信号进行处理，最终得到透过率或吸光度随波数或波长的红外吸收光谱图。傅里叶变换红外光谱仪采用的傅里叶变换对光的信号进行处理，避免了电机驱动光栅分光时带来的误差，所以重现性比较好。2.音乐分析1乐理知识介绍乐音的基本特征可以用基波频率、谐波频谱和包络波形3个方面来描述。1.1基波频率每个指定音调的唱名都对应固定的基波信号频率。所谓唱名是指平日读乐谱唱出的1(do)、2(re)、3(mi)……,每个唱名并未固定基波频率。当指定乐曲的音调时才知道此时唱名对应的频率值。如C调“1”的基波频率为261.63Hz,F调“1”的基波频率为349.23Hz,F调“5”的基波频率为523.25Hz。1.2谐波频谱在音乐领域中称谐波为“泛音”,由谐波产生的作用称为音色变化。当指定音调之后,仅指定了乐音信号的基波频率,谐波情况并未说明。各种乐器,如钢琴或单簧管,都可以发出某一音调下的唱名,而人的听觉会明显感觉两者不同,这是由于谐波成分有所区别,频谱结构各异。1.3包络波形不同类型的乐器,包络形状也不相同。在音乐合成实验中,为简化编程描述,通常把复杂的包络函数用少量直线近似。于是,乐音波形的包络呈拆线。有时为了保证在乐音的邻接处信号幅度为零,也可以用指数衰减的包络来表示,这也是最简单的办法。2基于MATLAB的音乐分析与合成实验2.1实验要求该实验采用MATLAB软件仿真来实现。首先,通过编程对一段真实的音乐进行分析、处理,求得这段音乐的基频、谐波分量、频带宽度等数据;然后,通过对乐理的研究,根据分析中求得的数据编写程序,进行基于傅里叶分析的音乐合成设计。2.2实验原理傅里叶变换建立了信号频谱的概念。所谓傅里叶分析即分析信号的频谱(频率构成)、频带宽度等。要想合成出一段音乐,就要了解该段音乐的基波频率、谐波构成等。因此,必须采用傅里叶变换这一工具。对于连续时间信号f(t),其傅里叶变换为F(ω):F(ω)=∫∞-∞f(t)e-jωtdt。由于其变换两边的函数f(t)和F(ω)都是连续函数,不适合于计算机处理。MATLAB语言提供了符号函数fourier来实现傅里叶变换,但该函数需要信号的解析表达式。而工程应用中经常需要对抽样数据进行傅里叶分析,这种情况下往往无法得到信号的解析表达式,必须采用傅里叶变换的数值计算方法。如果f(t)的主要取值区间为[t1,t2],定义T=t2-t1为区间长度。在该区间内抽样N个点,抽样间隔为△t=TN,则有F(ω)=∑N-1n=0f(t1+n△t)e-jω(t1+n△t)△t=△t·∑N-1n=0f(t1+n△t)e-jω(t1+n△t)。可以计算出任意频点的傅里叶变换值,假设F(ω)的主要取值区间位于[ω1,ω2],要计算其间均匀抽样的k个值,则有F(ω1+k△ω)=△t·∑N-1n=0f(t1+n△t)e-j(ω1+k△ω)·(t1+n△t),式中,△ω=ω2-ω1k为频域抽样间隔。2.3音乐分析与合成的MATLAB实现2.3.1相关的MATLAB函数及其功能相关的几个声音信号分析与处理的MATLAB函数及其功能,见表1相关的MATLAB函数及其功能函数功能wavread读.wav文件sound将向量转换成声音kron矩阵的张量积(叉乘)resample改变信号的采样率interp上采样(提高采样率)decimate下打样(降低采样率)2.3.2实现过程中的难点处理(1)音乐的时间分割。在对音乐信号进行分析时,要充分考虑采样数据点数是否为MATLAB软件所能承受。如对音乐信号以8000Hz进行采样,那么在1s的时间范围内,采样的数据点数就有8000个,再对这些数据进行一系列的数学运算,其运行时间很长,出现类似死机的现象。因此,如果音乐文件时间达数秒钟,则应将该文件进行时间分割,分成几个小段进行分析,每小段的时间越少,分析速度越快。建议每小段的时间尽量不超过0.5s。在对每小段音乐进行分析时,只需分析每段音乐的最高幅度处,其他处可看成是其幅度的衰减,频率成分不变,这样可以减少对音乐的分析时间,以免做无谓的分析。为防止漏掉基波频率,最好参考该音乐的时域波形,捕捉到每个音的起始时间和持续时间。(2)音乐的节拍。每个音的起始时间和持续时间在合成音乐的时候也是到至关重要的。因为每个音调都有持续时间,该持续时间就是通常意义上的“拍子”,一拍大约是0.5s。只有了解了每个音的起始时间和持续时间,在音乐合成时才能正确地掌握各基波频率出现的前后顺序及其节拍,以减少失真。(3)音乐的波形包络。乐音波形包络是描述乐音特性的一个重要因素。通过音乐的时域波形可以判断该乐音是否在下一个乐音开始时衰减为零,以减小音乐合成的误差。包络既可用折线形也可采用指数衰减的方法,关键的问题是如何选择衰减系数。采用折线方法麻烦一些,但折线的斜率可以根据时域波形来判断;若采用指数衰减方法,如能确定衰减系数,就非常简单。本设计采用指数衰减方法,衰减系数可根据电容充放电理论,即工程上认为,当t≥3τ以后,可认为电路已趋稳定,其中,τ为RC电路的时间常数,τ=RC。设某段音乐的持续时间为T,且幅度在T时间内衰减为零,当包络采用指数e^at时,则衰减因子a=3/T。(4)参与音乐合成的频率分量。考虑到计算容量和计算速度,并不使用所有的频率分量进行音乐的合成,而只是选用那些真实音乐频谱中超过0.35倍最大幅度的频率分量,否则数据量太大,会超出计算机所能承受的范围,从而导致程序运行错误。2.3.3程序实现框图及误差分析用MATALB语言编程实现音乐的分析与合成实验程序框图如图1以一段3s的吉它曲为例,运行该程序,得到该吉它曲的真实音乐与合成音乐的时域波形如图2。从图2中可以看出,合成音乐与真实音乐存在着一定的误差。一是合成时只选用了真实音乐频谱中那些超过0.35倍最大幅度的频率分量,舍弃了某些频率成分;二是为了简化程序的编制,对音乐的波形形状选用指数衰减包络进行合成,并不完全符合真实音乐的波形形状。（图一：试验程序）（图三：音乐频谱分析——真实音乐频谱）（图四：通过傅里叶变换合成的频谱，模拟原音乐频谱）