第17讲-加法原理与乘法原理

第17讲加法原理与乘法原理尽管计数问题形式多样，但从题目的特点来看都有一定的规律。因此，解这类题可以直接运用计数原理。（1）加法原理：如果完成一件工作有K种途径，由第1种途径有n1种方法可以完成，由第2种途径有n2种方法可以完成，……由第k种途径有nK种方法可以完成。那么，完成这件工作共有n1+n2+……+nK种不同的方法。在上一讲中“木棒围三角形”的问题，可看成共有11种途径，这11种途径是：使a、b两条边的和分别为12，13，14，……22。每种途径中又分别对应着6，6，5，5，4，4，3，3，2，2，1，1种不同方法，根据加法原理，可算出结果是36。（2）乘法原理：如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有n1种不同的方法，完成第2步有n2种不同的方法，……，完成第K步有nK种不同的方法。那么，完成这件工作共有n1×n2×……×nK种不同方法。【例1】妈妈有3顶不同的帽子，4件不同的衬衫，5条不同的裙子。如果可以不戴帽子，那么妈妈用这些帽子和衣裙，共可组成多少种不同搭配的穿戴方式？【分析】可以把妈妈穿衣戴帽看作一件工作，分三步进行：①选择帽子（包括不戴帽）；②选择衬衣；③选择裙子。因为可以不戴帽，所以在第①步中，可选择“3+1=4”种不同方法。在第②步、第③步中，分别有4种、5种方法。【解】根据乘法原理，可组成不同搭配的穿戴方式共有4×4×5=80（种）。【例2】直线a上有5个点，直线b上有4个点（如图17-1）。把这些点作为三角形的三个顶点，一共可组成多少个不同的三角形？【分析】首先要注意：组成三角形的3个顶点应当不在同一直线上。所以，“这件工作”应分两步，先在一条直线上选一个点确定第一个顶点，再在另一条直线上选两个点确定另外两个顶点。【解】5×（1+2+3）+4×（1+2+3+4）=70（个）【例3】180的约数有____个。【分析】180=2×2×3×3×5。这样想：从2张“2”的卡片、2张“3”的卡片、1张“5”的片卡中选若干组成180的约数。分三步：①选“2”；②选“3”；③选“5”。选“2”有3种情况：不选、选1张、选2张。选“3”、选“5”分别有3种、2种情况。【解】（2+1）×（2+1）×（1+1）=18（个）教练员提示语在加法原理和乘法原理中都有“完成一件工作”这句话，这只是为了表达的方便。有些计数问题（如本讲例3及“练一练”中第3、4两题）并不是以完成一件工作的形式出现，这没有关系。只要弄清楚：如果题目仅涉及“分步”，那么应用“加法原理”：如果题目中涉及“分步骤”，那么就要用“乘法原理”。有时，既要用“加法原理”，又要用“乘法原理”，例2就是这样。练一练1.现有一架天平和1克、2克、4克、8克的砝码各一个，用这4个砝码在天平上共能称几种不同重量的物体？2.用5支不同颜色的水彩笔，来书写“IMO”，要求不同字母用不同颜色的笔写。共可写出____种不同颜色搭配的“IMO”。3.由1、2、3、4、5这五个数字，共可组成____个大于5000的五位数。4.540的约数有____个。答案：1、15种2、5×4×3=603、4×3×2×1=244、540=22×35×51（2+1）×（3+1）×（1+1）＝24