高考数学圆锥曲线综合题型归纳解析

圆锥曲线综合题型归纳解析【知识点精讲】一、定值问题解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量——函数——定值”，具体操作程序如下：（1）变量——选择适当的量为变量；（2）函数——把要证明为定值的量表示成变量的函数；（3）定值——化简得到函数的解析式，消去变量得到定值。求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，在证明定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定值。二、求最值问题常用的两种方法（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形的性质来解决。（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，在求该函数的最值。求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法、和三角换元等，这是代数法。三、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视”（1）重视定义在解题中的应用（优先考虑）；（2）重视曲线的几何特征特别是平面几何的性质与方程的代数特征在解题中的作用；（3）重视根与系数的关系（韦达定理）在解题中的应用（涉及弦长、中点要用）。四、求参数的取值范围根据已知条件及题目要求建立等量或不等量关系，再求参数的范围。题型一、平面向量在解析几何中的应用【思路提示】解决平面向量在解析几何中的应用问题要把几何特征转化为向量关系，并把向量用坐标表示。常见的应用有如下两个：（1）用向量的数量积解决有关角的问题：①直角12120abxxyy；②钝角12122222112210||||xxyyababxyxy；③锐角12122222112201||||xxyyababxyxy。（2）利用向量的坐标表示解决共线、共面问题。一、利用向量的数量积解决有关夹角（锐角、直角、钝角）的问题其步骤是：弦写出向量的坐标形式，再用向量积的计算公式121222221122cos,||||xxyyabababxyxy。【例10.44】过抛物线22(0)xpyp的焦点F的直线交抛物线于,AB两点，O为坐标原点.求证：ABO是钝角三角形.【评注】若直线l与抛物线22(0)xpyp交于,AB两点，则：（1）直线l在y轴上的截距等于2p时，090AOB；（2）直线l在y轴上的截距大于2p时，090AOB；（3）直线l在y轴上的截距大于0且小于2p时，090AOB。变式1如题（20）图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A,左、右焦点分别为12,FF,线段12,OFOF的中点分别为1212,,BBABB且是面积为4的直角三角形（1）求该椭圆的离心率和标准方程（2）过1B作直线l交椭圆于PQ、两点，使22PBQB,求直线l的方程变式2设,AB分别为椭圆22143xy的左、右顶点，P为直线4x上不同于点(4,0)的任意一点，若直线,APBP分别与椭圆交于异于,AB的点,MN.证明：点B在以MN为直径的圆内。变式3已知m＞1，直线2:02mlxmy，椭圆222:1xCym，1,2FF分别为椭圆C的左、右焦点.（Ⅰ）当直线l过右焦点2F时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于,AB两点，12AFFV，12BFFV的重心分别为,GH.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.【例10.45】在平面直角坐标系中，点P到两点(0,3),(0,3)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线1ykx与C交于,AB两点.（1）求C的方程；（2）若OAOB，求k的值.变式1椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右、上、下顶点为12,AA，12,BB，焦点为12,FF，1122112212||7,2.BABABFBFABSS（1）求椭圆C的方程；（2）设m为过原点的直线，直线l与椭圆C交于,AB两点，且,mlmlP，||1OP，是否存在上述直线l使0OAOB成立，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。变式2椭圆2222:1(0)xyCabab的一个焦点是(1,0)F，O为原点坐标。设过点F的直线l交椭圆于,AB两点，若直线l交绕点F任意转动，恒有222||||||OAOBAB，求实数a的取值范围。二、利用向量的坐标表示解决共线问题12211122,=(),=().ababxyxyaxybxy共线或，其中，，【例10.46】在平面直角坐标系中，经过点(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆2212xy有两个不同的交点,PQ。（1）求k的取值范围；（2）设,AB是椭圆的右顶点和上顶点，是否存在常数k，使OPOQAB与共线？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由。变式1设椭圆2222:1(0)xyCabab的左右焦点为12,FF，离心率22e，直线2:alxc，,MN是l上的两个动点，120FMFN。（1）若12||||25FMFN，求,ab的值；（2）证明：当||MN取最小值时，1212FMFNFF与共线。【例10.47】设,AB是椭圆2212xy上的两点，并且点(2,0)N满足NANB，当11[,]53时，求直线AB斜率的取值范围。变式1已知12,FF分别为椭圆22132xy的左、右焦点，直线1l过1F且垂直于椭圆的长轴，动直线2l垂直于直线1l，垂足为D，线段2DF的垂直平分线交2l于点M。（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）过点1F作直线交C于,PQ两个不同点，设11FPFQ，若[2,3]，求22FPFQ的取值范围。变式2过点(1,0)F的直线交抛物线24yx于,AB两点，交直线:1lx于点M，已知12,MAAFMBBF，求12的值。题型二、定点问题【思路提示】（1）直线过定点，由对称性知定点一般在坐标轴上，如直线(0)ykxbk过定点(,0)bk；（2）一般曲线过定点，把曲线方程变为12(,)(,)0()fxyfxy为参数，解方程组12(,)0(,)0fxyfxy，即得定点。模型一：三大曲线的顶点直角三角形的斜边所在的直线过定点。【例10.48】已知椭圆C：22143xy，直线:lykxm与椭圆交于,AB两点（,AB非顶点），且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点。求证直线l过定点，并求定点坐标。【评注】已知椭圆C：2222:1(0)xyCabab，直线:lykxm与椭圆交于,AB两点（,AB非顶点），①若以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线l过定点2222()(,0)aabab；②若以AB为直径的圆过椭圆的左顶点，则直线l过定点2222()(,0)aabab；③若以AB为直径的圆过椭圆的上顶点，则直线l过定点2222()(0,)bbaab；④若以AB为直径的圆过椭圆的下顶点，则直线l过定点2222()(0,)bbaab；⑤类比椭圆，对于双曲线22221(0,0)xyabab上异于顶点的两动点,AB，若以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线l过定点2222()(,0)aabab⑥类比椭圆，对于双曲线22221(0,0)xyabab上异于顶点的两动点,AB，若以AB为直径的圆过椭圆的左顶点，则直线l过定点2222()(,0)aabab。变式1已知椭圆2214xy的左顶点为A，不过A的直线:lykxb与椭圆交于不同的两点,PQ.当0APAQ时，求kb与的关系，并证明直线l过定点。变式2已知焦点在x轴上的椭圆C过点(0,1)，且离心率为32,Q为椭圆C的左顶点.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知过点6(,0)5的直线l与椭圆C交于A，B两点.（ⅰ）若直线l垂直于x轴，求AQB的大小;（ⅱ）若直线l与x轴不垂直，是否存在直线l使得QAB为等腰三角形？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由.【例10.49】已知抛物线22(0)ypxp上异于顶点的两动点A，B满足以AB为直径的圆过顶点.求证：直线AB过定点，并求出定点坐标。【评注】（1）①将斜率存在的直线设为ykxb，将直线斜率不为0的直线设为xtym；②抛物线22(0)ypxp中221212121224yyxxyyyyp；③对于过定点问题，必须引入参数，最后令参数的系数为0。（2）抛物线22(0)ypxp上异于顶点的两动点A，B满足OAOB，则直线AB过定点(2,0)p；抛物线22(0)xpyp上异于顶点的两动点A，B满足OAOB，则直线AB过定点(0,2)p。变式1如图10-39所示，已知定点00(,)Pxy在抛物线22(0)ypxp上，过点P作两直线12,ll分别交抛物线于A，B两点，且以AB为直径的圆过点P.求证：直线AB过定点，并求定点坐标。变式2已知抛物线24yx，过点(1,2)M作两直线12,ll分别交抛物线于A，B两点，且12,ll的斜率12,kk满足122kk。求证：直线AB过定点，并求定点坐标。模型二：三点圆锥曲线中，若过焦点的弦为AB，则焦点所在坐标轴上存在唯一定点N，使得NANB为定值。【例10.50】已知椭圆C:22221(0)xyabab的右焦点为(1,0)F，且点2(1,)2在椭圆C上.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点.试问x轴上是否存在定点Q，使得716QAQB恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.变式1已知双曲线222xy的左、右焦点为12,FF，过2F的动直线与双曲线交于A，B两点.在x轴上是否存在定点C，使CACB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。题型三、定直线问题模型：已知椭圆22221(0)xyabab外一点00(,)Pxy，当过P的动直线l与椭圆交于不同的两点A，B时，在线段AB上取一点Q，满足||||||||APAQPBQB。求证：点Q总在某定直线上，并求出该直线的方程。证明：设1122(,),(,),(,)AxyBxyQxy，由题意知||||||||APAQPBQB设A在P，Q之间，(0)PAAQ，又Q在P，B之间，故PBBQ，又因为||||PBBQ，所以1。由(0)PAAQ得101011(,)(,)xxyyxxyy，解得010111xxxyyy。同理，由PBBQ得202022(,)(,)xxyyxxyy解得020211xxxyyy。因为点A在椭圆上，所以220022()()111xxyyab，即2220022()()(1)xxyyab①同理，由点B在椭圆上，可得2220022()()(1)xxyyab②由①—②整理得00221xxyyab所以点Q在定直线00221xxyyab上。类比椭圆，对于双曲线有点Q在定直线00221xxyyab上。再由P，Q的对等性知，当P在椭圆内，上述结论仍成立，双曲线亦同。已知抛物线22(0)xpyp，定点00(,)Pxy不在抛物线上，过P的动直线l与抛物线交于不同的两点A，B，在线段AB上取一点Q，满足||||||||APAQPBQB。求证：点Q总在某定直线上，并求出该直线的方程。证明：设1122(,),(,),(,)AxyBxyQxy，由题意知||||||||APAQPBQB设A在P，Q之间，(0)PAAQ，又Q在P，B之间，故PBBQ，又因为||||PBBQ，所以1。由(0)PAAQ得101011(,)(,)xxyyxxyy，解得010111xxxyyy。所以00(,)11xxyyA同理，由PBBQ得202022(,)(,)xxyyxxyy