八年级数学(上)几何证明中的辅助线添加方法

八年级数学（上）几何证明中的辅助线添加方法数学组田茂松八年级数学的几何题，有部分题需要做出辅助线才能完成。有的时候，做不出恰当的辅助线，或者做不出辅助线，就没有办法完成该题的解答。为了能够更好的让学生在做几何题时得心应手，现在将八年级数学中几何题的辅助线添加方法总结如下。常见辅助线的作法有以下几种：1.遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。2.遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。3.遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4.过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。5.截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。6.特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。常见辅助线的作法举例：例1如图1,//ABCD，//ADBC.求证：ADBC.分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。证明：连接AC（或BD）∵//ABCD,//ADBC（已知）∴∠1＝∠2，∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）在ABC与CDA中)(43)()(21已证公共边已证CAAC∴ABC≌CDA（ASA）∴ADBC（全等三角形对应边相等）例2如图2,在RtABC中，ABAC，90BAC，12，CEBD的延长于E.求证：2BDCE.分析：要证2BDCE，想到要构造线段2CE，同时CE与ABC的平分线垂直，想到要将其延长。证明：分别延长BA，CE交于点F.∵BECF（已知）∴90BEFBEC（垂直的定义）在BEF与BEC中，)()()(21已证公共边已知BECBEFBEBEABCD1234图1DCBAEF12图2∴BEF≌BEC（ASA）∴12CEEFCF（全等三角形对应边相等）∵90BAC,BECF（已知）∴90BACCAF,190BDA,190BFC∴BDABFC在ABD与ACF中)()()(已知＝已证已证ACABBFCBDACAFBAC∴ABD≌ACF（AAS）∴BDCF（全等三角形对应边相等）∴2BDCE.例3已知如图3,AC、BD相交于O点，且ABCD，ACBD，求证：AD.分析：要证AD，可证它们所在的三角形ABO和DCO全等，而只有ABCD和对顶角两个条件，差一个条件,难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由ABCD，ACBD，若连接BC，则ABC和DCB全等，所以，证得AD.证明：连接BC，在ABC和DCB中)()()(公共边已知已知CBBCDBACDCAB∴ABC≌DCB(SSS)∴AD(全等三角形对应边相等)例4如图4,ABDC，AD.求证：ABCDCB.分析：由ABDC，AD，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有ABN≌DCN，故BNCN，ABNDCN.下面只需证NBCNCB，再取BC的中点M，连接MN，则由SSS公理有NBM≌△NCM，所以NBCNCB.证明：取AD，BC的中点N、M，连接NB，MN，NC.则ANDN，BMCM.在ABN和DCN中)()()(已知已知辅助线的作法DCABDADNAN∴ABN≌DCN（SAS）∴ABNDCN,BNCN（全等三角形对应边、角相等）在NBM与NCM中DCBAO图3DCBAMN图4)()()(公共边＝辅助线的作法＝已证＝NMNMCMBMNCNB∴NBM≌NCM(SSS)∴NBCNCB（全等三角形对应角相等）∴NBCABNNCBDCN,即ABCDCB.例5如图5，//ABCD，BE平分ABC，CE平分BCD，点E在AD上，求证：BCABCD.分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用角平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段.但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的.简证：在此题中可在长线段BC上截取BFAB，再证明CFCD，从而达到证明的目的.这里面用到了角平分线来构造全等三角形.另外一个全等自已证明,只要证明DECFEC即可.此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明.例6如图6，已知ABAD,BACDAC,CDBC.求证：180ADCB.分析：可由点C向BAD的两边作垂线,证明CBE≌CDF,进而得BCDF,从而得证180ADCB.证明：略例7如图，在ABC中，AD是角平分线，ACABBD,求证:2BC.分析：证法1此题涉及到倍角关系，基本思路是构造等腰三角形，利用等腰三角形的两个底角相等，由此可以在AC上去一点E(如图6-1)，使AEAB,容易证明ADE≌ADB,可得BAED,BDED,又由ACABBD,可知CEDEBD,得2BAEDC.证法2可以延长AB到F（如图6-2）,使BFBD,连接DF.易证ACD≌AFD，从而CF,又2ABCF,问题得证.证明：略例8如图8，ABC中，AD是中线，延长AD到E，使DEAD,DF是DCE的中线.已知ABC的面积为2，求：CDF的面积.解：因为AD是ABC的中线，所以112122ACDABCSS，又因CD是ACE的中线，故112CDEACDSS，因DF是CDE的中线，所以111122CDFCDESS.∴CDF的面积为12.DCBA图7DCBAF图7-2DCBAE图7-1ABDCEF图5ABCDEF图6FDBCAE图8