泛函分析第七章-习题解答1-25

第七章习题解答1．设（X，d）为一度量空间，令}),(,|{),(},),(,|{),(0000xxdXxxxSxxdXxxxU问),(0xU的闭包是否等于),(0xS？解不一定。例如离散空间（X，d）。)1,(0xU={0x}，而)1,(0xS=X。因此当X多于两点时，)1,(0xU的闭包不等于)1,(0xS。2.设],[baC是区间],[ba上无限次可微函数的全体，定义)()(1)()(max21),()()()()(0tgtftgtfgfdrrrrbtarr证明],[baC按),(gfd成度量空间。证明（1）若),(gfd=0，则)()(1)()(max)()()()(tgtftgtfrrrrbta=0，即f=g（2）)()(1)()(max21),()()()()(0tgtftgtfgfdrrrrbtarr)()(1)()()()(1)()(max21)()()()()()()()(0tgthtgthtgtftgtfrrrrrrrrbtarr)()(1)()(max21)()(1)()(max21)()()()(0)()()()(0tgthtgthtgtftgtfrrrrbtarrrrrrbtarr=d（f，g）+d（g，h）因此],[baC按),(gfd成度量空间。3．设B是度量空间X中的闭集，证明必有一列开集nooo21,包含B，而且Bonn1。证明令nnnonnBxdBoo.2,1},1),({是开集：设nox0，则存在Bx1，使nxxd1),(10。设,0),(110xxdn则易验证noxU),(0，这就证明了no是开集显然Bonn1。若nnox1则对每一个n，有Bxn使nxxd1),(1，因此)(nxxn。因B是闭集，必有Bx，所以Bonn1。4.设d（x，y）为空间X上的距离，证明),(1),(),(___yxdyxdyxd是X上的距离。证明（1）若0),(___yxd则0),(yxd，必有x=y（2）因),(),(),(zydzxdyxd而tt1在),[o上是单增函数，于是),(),(1),(),(),(),(1),(),(______zydzxdzydzxdyxdyxdyxdyxd=),(),(1),(),(),(1),(zydzxdzydzydzxdzxd),(1),(),(1),(zydzydzxdzxd=),(),(_____zydzxd。5.证明点列{nf}按习题2中距离收敛与],[baCf的充要条件为nf的各阶导数在[a，b]上一致收敛于f的各阶导数。证明若{nf}按习题2中距离收敛与],[baCf，即)()(1)()(max21),()()()()(0tftftftfffdrrnrrnbtarrn——0)(n因此对每个r，)()(1)()(max21)()()()(0tftftftfrrnrrnbtarr——0)(n，这样btamax)()()()(tftfrrn——0)(n，即)()(tfrn在[a，b]上一致收敛于)()(tfr。反之，若的nf（t）各阶导数在[a，b]上一致收敛于f（t），则任意o，存在0r，使2211orrr；存在rN，使当rNn时，max)()()()(tftfrrn00,2,1,0,2rrr，取N=max{NNN1}，当nN时，)()(1)()(max21),()()()()(0tftftftfffdrrnrrnbtarrn)()(1)()(max21)()()()(0tftftftfrrnrrnbtarr121orrr22.00rr即),(nffd——0)(n。6.设],[baB，证明度量空间],[baC中的集{f|当tB时f（t）=0}为],[baC中的闭集，而集A={f|当tB时，|f（t）|〈a}（a0）为开集的充要条件是B为闭集。证明记E={f|当tB时f（t）=0}。设Efn}{，}{nf按],[baC中度量收敛于f，即在[a，b]上)(tfn一致收敛于f（t）。设Bt，则0)(lim)(tftfnn，所以fE，这就证明了E为闭集充分性。当B是闭集时，设fA。因f在B上连续而B是有界闭集，必有Bt0，使)(max)(0tftfBt。设0)(0tfa。我们证明必有AfU),(。设),(fUg，则若Bt，必有)()(tgtf，于是atftftgtftg)(||)(|)()(|)(|0，所以Ag，这样就证明了A是开集必要性。设A是开集，要证明B是闭集，只要证明对任意.....2,1,nBtn若0ttn)(n，必有Bt0。倘若Bt___0，则定义||)(0ttatfo。于是对任意Bt，attatfo||)(0因此Atfo)(由于A是开集，必有0，当fC[a，b]且),(0ffd时，Af。定义，n=1，2。。。。。则)(0||),(00nttffdnn因此当||0ttn时，Afn。但是attttatfnnn||||)(00，此与Afn的必要条件：对任意Bt，有atfn)(矛盾因此必有Bt0。7.设E及F是度量空间中的两个集，如果oFEd),(，证明必有不相交开集O及G分别包含E及F。证明设oFEd),(。令}2),(|{},2),(|{FxdxGExdxo则,,GFOE且GO，事实上，若GO，则有GOz，所以存在E中的点x使2),(〈zxd，F中点y使2),(〈zyd，于是〈),(),(),(zydzxdyxd，此与),(yxd），（FEd矛盾。8.设B[a，b]表示[a，b]上实有界函数全体，对B[a，b]中任意两元素f，gB[a，b]，规定距离为|)()(|sup),(tgtfgfdbta。证明B[a，b]不是可分空间。证明对任意0t[a，b]，定义)},[,2),[,1)(00btttattfot则)(0tftB[a，b]，且若21tt，1),(21ttffd。倘若B[a，b]是不可分的，则有可数稠密子集ngn1，对任意0t[a，b]，)21,(0tfU必有某ng，即21),(0tnfgd。由于[a，b]上的点的全体是不可数集。这样必有某ng，21,tt，使ng)21,(1tfU，ng)21,(2tfU，于是12121),(),(),(2121tnntttfgdgfdffd此与1),(21ttffd矛盾，因此B[a，b]不是可分空间。9.设X是可分距离空间，为X的一个开覆盖，即是一族开集，使得对每个Xx，有中的开集O，使得Ox，证明必可从中选出可数个集组成X的一个开覆盖。证明若Xx，必有xO，使xOx，因xO是开集，必有某自然数n，使xOnxU)1,(。设nxn1是X的可数稠密子集，于是在)21,(nxU中必有某)21,(nxUk，且xkOnxU)21,(。。事实上，若)21,(nxUyk，则nnnxxdxydxydkk12121),(),(),(所以)21,(nxUykxO。这样我们就证明了对任意Xx，存在k，n使)21,(nxUxk且存在OnxUk)21,(任取覆盖)21,(nxUk的O，记为nkO,是X的可数覆盖。10.X为距离空间，A为X中子集，令,.),,(inf)(XxyxdxfAy证明)(xf是X上连续函数。证明若,.0Xx对任意0，存在Ay0，使200)(2),(inf),(xfyxdyxdAyo。取02。则当),(0xxd时，)(),(),(),(),(inf)(0000xfyxdxxdyxdyxdxfo因此)()(0xfxf。由于x与0x对称性，还可得)()(0xfxf。于是|)()(|0xfxf。这就证明了)(xf是X上连续函数。11.设X为距离空间，21,FF是X中不相交的闭集，证明存在开集21,GG使得221121,,FGFGGG。证明若1Fx，则由于2Fx，2F为闭集，必有0x，使2),(FxUx，令)2,(11xFxxUG，类似)2,(22yFxyUG，其中1),(FyUy，显然21,GG是开集，且2211,FGFG。倘若,21GG，则必有,1Fx2Fy，使)2,()2,(xyxUyU。设)2,()2,(xyxUyUz。不妨设yx，则xyxyxyzdzxdxyd22),(),(),(因此),(xxUy，此与2),(FxUx矛盾。这就证明了21GG。12.设X，Y，Z为三个度量空间，f是X到Y中的连续映射，g是Y到Z中的连续映射，证明复合映射))((())(.(xfgxfg是X到Z中的连续映射。证明设G是Z中开集，因g是Y到Z中的连续映射，所以)(1Gg是Y中开集。又f是X到Y中的连续映射，故))((11Ggf是X中的开集。这样))(()().(111GgfGfg是X中的开集，这就证明了g。f是X到Z的连续映射。13.X是度量空间，证明f是连续映射的充要条件是对每个实数c，集合})(,|{cxFXxx和集合})(,|{cxFXxx都是闭集。证明设f是X上连续的实函数，又对每一实数c，G=（c，）是开集，于是})(,|{)(1cxFXxxGf是开集。这样})(,|{cxfXxx=})(,|{cxfXxxC是闭集。同理})(,|{cxfXxx是闭集。反之，若对每个实数c，})(,|{cxfXxx和})(,|{cxfXxx都是闭集，则})(,|{cxfXxx和})(,|{cxfXxx都是开集。设G是直线上的开集，则1),(iiibaG或niiibaG1),(，其中),(iiba是G的构成区间。不妨设1),(iiibaG于是}))(,|({}))(,|({})(,|{)(111iiiiiibxfXxxaxfXxxbxfaXxxGf是开集。因此f是连续的实函数。14.证明柯西点列是有界点列。证明设{nx}是X中的柯西点列。对10，存在N，使当n，mN时，.1),(mnxxd，令.1}),({max1NiNixxdM则对任意nx有MxxdNn),(。因此{nx}是有界点列。15.证明第一节中空间S，B（A），以及离散的度量空间都是完备的度量空间。证明（1）S是完备的度量空间设{nx}是S中的柯西点列，),,(.)()(2)(1ninnnx对每一个固定的i，由于)0(0212tttii，因此对任意,0存在0，当t0时ttii212，对此0，存在n，mN时，1)()()()(||1||21),(iminiminiimnxxd，因此1)()()()(||1||21iminiminii，从而||)()(mini〈ii212。这样对固定的i，1)(}{nni是柯西点列。设)()(nini。令),,(21ix，故有Sx，且对任意给定o，存在0i，使10221iii。存在),1