1.3.3函数的最值与导数

1.3.3函数的极值与导数之间的关系：xx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)xx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)增f(x)0f(x)=0f(x)0极大值减f(x)0f(x)=0增减极小值f(x)0oax0bxyoax0bxy0fx注意：是可导函数取得极值的必要不充分条件【求可导函数f(x)的极值的步骤】(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.强调:要想知道x0是极大值点还是极小值点就必须判断f(x0)=0左右侧导数的符号.【变式训练】已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－23时，都取得极值．(1)求a，b的值；(2)若f(－1)＝32，求f(x)的单调区间和极值．【课前训练】12491(2)=(-)==f23272.()()ffxfx极大极小答：（1）a=-,b=-2.；（1）=-导数的极值常与函数的单调性、导数联合考查，是高考的常考内容，常常三者结合与含参数的讨论等知识点相联系，综合考查．解决时可以以大化小分步解决，严格遵循解决极值问题和单调性的解题步骤，遇到该讨论时要进行合理、恰当地讨论．这种综合题在解决时要弄清思路，分步进行，切忌主次不分，讨论混乱．归纳总结：P29P30【阅读课本相关内容，回答问题】2.函数的最值和极值的区别与联系是什么？【说明】1．当f(x)的图象连续不断且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得．2．函数f(x)在区间(a，b)上的最值在区间(a，b)上函数f(x)的图象是一条连续的曲线时，f(x)在(a，b)内不一定有最值．常见的有以下几种情况：如图，图(1)中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最大值而无最小值；图(2)中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最小值而无最大值；图(3)中的函数y＝f(x)在(a，b)上既无最大值也无最小值；图(4)中的函数y＝f(x)在(a，b)上既有最大值又有最小值．有极值无最值P30P31【阅读课本相关内容】探究利用导数求函数最值的步骤只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．一般地，求函数)(xf在ba,上的最大值与最小值的步骤：⑴求)(xf在(,)ab内的极值；⑵将)(xf的各极值与端点处的函数值)(af、)(bf比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(xf在ba,上的最值奎屯王新敞新疆例1．（课本例5）求31443fxxx在0,3的最大值与最小值奎屯王新敞新疆P【跟踪练习1】课本31练习【点评】(1)用导数求函数的最值和求函数的极值方法类似，在给定区间是闭区间时，极值要和区间端点的函数值进行比较，并且要注意极值点是否在区间内．(2)当函数多项式的次数大于2或用传统方法不易求最值时，可考虑用导数的方法求解．福建卷：已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数a、b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．[分析]函数最值的逆向问题，通常是已知函数的最值求函数关系式中字母的值的问题．解决时应利用函数的极值与最值相比较，综合运用求极值、最值的方法确定系数的方程(组)，解之即可．[解]显然a≠0.f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)．令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．(1)当a0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x[－1,0)0(0,2]f′(x)＋0－f(x)最大值所以当x＝0时，f(x)取得最大值，所以f(0)＝b＝3.又f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(－1)f(2)．所以当x＝2时，f(x)取得最小值，即－16a＋3＝－29，a＝2.(2)当a0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x[－1,0)0(0,2]f′(x)－0＋f(x)最小值所以当x＝0时，f(x)取得最小值，所以b＝－29.又f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，f(2)f(－1)．所以当x＝2时，f(x)取得最大值，即－16a－29＝3，a＝－2.综上所述a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.[点拨]本题运用了求极值、最值的方法，采用了待定系数法确定a，b的值，体现了方程的思想和分类讨论的思想．32().1212.fxaxxbxabRgxfxfxfxgxgx(2010重庆）已知函数其中常数、，是奇函数求的表达式；讨论【变式训的单调性，并求在区间，上的最大值和练最小值】.34g(2)324)2g(2x31-g(x)2(.31-f(x)0b31-ag(x)-g(-x)1g(x)g(x)xxx323小大；，下略）可，恒成立。）由奇函数（参考：自主练习：思考讨论：思考讨论：3()31fxaxx1,1x()0fxa【解析】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。要使之恒成立，只要在上求f（x）最小值即可。对于总有成立，则=▲。1,1x22()333(1)fxaxax010a()31fxxmin()20fx020a22()333(1)0fxaxax()fxmin()(1)202fxfaa当时，，所以，不符合题意，舍去当时，即单调递减，，舍去。030a1()0fxxa111aa()fx11,a1,1a11,aamin1()min(1),()fxffa(1)400411()120faafaa()fx1,1xmin()(1)202fxfaa当时(1)当时在和上单调递增，在上单调递减。所以时在上单调递减，，不符合题意，舍去。(2)当111aa综上可知：a=4.零。）前提必须大于或等于（）与（另注：可求。。讨论）（；）（由）谁最小即可。（）与（）小，故只比较（）比（：结合图像可知说明1-fa1f*a12-1a1f4-a1-f1-fa1f1fa1f30导数与不等式恒成立的解题方法利用导数证明不等式恒成立，就是利用不等式与函数之间的联系，将不等式部分或全部投射到函数上，直接或等价变形后，结合不等式的结构特征构造相应的函数，通过导数运算判断出函数的单调性，然后求出函数在给定区间上的最值，问【点评】题得解.解：（I）∵（），∴当x=-t时，f(x)取最小值f(-t)=-t3+t-1,即h(t)=-t3+t-1.(II)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由=-3t2+3=0得t=1,t=-1（不合题意，舍去）.当t变化时、g(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)+0-g(t)递增极大值1-m递减∴g(t)在（0，2）内有最大值g(1)=1-mh(t)-2t+m在（0，2）内恒成立等价于g(t)0在（0，2）内恒成立，即等价于1-m0所以m的取值范围为m1)(tg)(tg)(tg小结：片7-9题型，方法。（应用题）321P32A3,131,51fxxaxxaRxfxfxxfxRa、课本页组62、已知函数若是函数的极值点，求在的最大值和最小值；若函数是上的单调递增函数，求实数的取值范围.（1,2）32().1212.fxaxxbxabRgxfxfxfxgxgx(2010重庆）已知函数其中常数、，是奇函数求的表达式；讨论【变式训的单调性，并求在区间，上的最大值和练最小值】练习P32A组6T，三维。3.参考：.34g(2)324)2g(2x31-g(x)2(.31-f(x)0b31-ag(x)-g(-x)1.3g(x)g(x)xxx323小大；，下略）可，恒成立。）由奇函数（.3,3-a)2(.1-;19;5)1.(2)1()5(ffa小大(本小题满分14分)已知函数()lnfxxx.（1）讨论关于()0xfxm的方程的解的个数)()2(2afxafxg)()(0xgxfax时，（2）设，求证：（略解）（1）方程即mxf'ln1,(0)fxxx0'xfex1,令得：为增函数时，为减函数；当时，当xfxfexxfxfex,0',1,0'1,0，所以，取唯一的极小值时，当exfex1-10x0()0fxfx且当时,,1me时，无解；10mme或时，一解；10me时，两解.所以方程①当afxafxfxgxfxF22aaxaxaxxln2lnln（2）设，（2）设，可求得xaxxaxxF2ln)12(ln1ln'，,020xaxax时，12xax0'xF当，∴∴当即F（x）在),(a,0)()F(0aFxax时，上单调递增，且F（a）=0。.所以，)()(xgxf即2fx=x+1lnx-x+1.1xfxx+ax+1a2x-1fx140.已知函数若，求的取值范围；证明：讨论：(本题分）21fx=lnx+xfxx+ax+1x1lnx-xagx=lnx-xgx=-1.xix1gx0;ii)1gx0,x=1gxa-1gxg1+=-1），题设，令（）（））当0（）当x（）即是（）的最大值点，综上：，解：（）（）.。）1gxg1=-ix1fx=x+1lnx-x+1=xlnx+0ii)1fx=lnx+xlnx-x+1=lnx+1xlnl*lnx-x+1nx-x1ln-+1xxx+-1=lnx-.+x0..x由上知（即10）（）1，，）当0当x，综上2）1x=x-1fxF，导思考：令数求证。1xlnx+1fx=lnx+=,x0xxhx=xlnx+1,x0hx=lnx+1,x01110x=hx=h=0x0eeehx0fx0fx0+ix1fxf1=0x-10ii)1fxf1=0x-10易最小另2）由上1）知，令界点，时，时，即在，递增。则）当0；成立；当x；成立。综上：...221201213fx=x+alnxa2)1f1x+2y+3=0afxlnxIII)fxfxxfx-2e=exaRIII记（）为函数（）的导函数，若关于的方程（（期末:满分）已知函数（）。若函数再点P）（（，（））处的切线与直为自然对数的底数）有且线垂直，求的仅有两个不同值；）求函的实根，求数（）的的取单调区间；值范围。2222+max)a=1ax+a)fx=x+=xxa0fx-a+fx0-aa0fx0+lnx1-lnxa=-x+2=gxgx=-2x+2e=0xx1x=e.....g......4......8x=ge=+ex0gx-eIIIex（）当时，（）的增区间为（，），（）的减区间（，）；当时，（）的增区间为（，）分离（），令（），（）（）；一参考：分(x0）分注时（x