流体力学教材-3

第3章流体运动学本章从几何的观点研究流体的运动，不讨论运动产生的动力学原因。3.1流动图形观察为了对流体的运动有一个感性认识，下面观察几种典型的流动。1.雷诺（Reynolds）实验早在1883年，英国物理学家O.Reynolds就对圆管内的粘性流体运动进行了实验。雷诺试验装置如图3.1.1。水流通过水平放置的玻璃圆管从水箱中流出。我们用小口径滴管从上游注入红墨水来观察管内水流的流动状态。管流速度很慢时，红墨水沿着管轴线平稳流动，成为一条直线，如图3.1.1a所示。这时红墨水的形状反映管中水流是沿管轴一层层平稳的流动的，这种流动状态称为层流。随着水流速度的逐渐加大，红墨水所形成的细线开始出现波动，如图3.1.1b所示。这种波动表明管中水流已不稳定，水流不仅有沿管轴方向的分速度，而且还产生了垂直于轴线方向的分速度，水流从层流的流动状态开始过渡为另一种流动状态。当水流速度增大超过某一数值后，红墨水很快和水流混杂在一起，如图3.1.1c所示。这时流体各部分之间相互混和，除了沿管轴的速度外，还产生了不规则的各个方向的脉动速度，这种流动状态称为湍流，亦称紊流。雷诺实验表明：粘性流体运动存在两种不同的流动状态——层流和湍流。Reynolds用各种不同管径的圆管重复了上述实验，结果发现流动由层流至湍流的转变不仅仅取决于管内的流速，而是与管内平均流速U，圆管直径d，流体密度以及流体粘性系数等4个物理量组成的无因此数ReUdUd（3.1.1）有关。为纪念Reynolds的这一发现，这个无因次数就称为Reynolds数，一般以符号Re表示。由层流转变成湍流时的Reynolds数称为临界Reynolds数，一般用crRe来表示。Reynolds当时从实验求出的2300Recr，工程中通常取2000。必须指出，crRe并不是一个确定的常数，它是随圆管入口处水流的扰动大小等实验条件不同而有所变化的。扰动大，erRe就低；反之扰动小，crRe就高。Reynolds以后许多研究者的大量试验表明，crRe可以在很大的范围内变动，例如若仔细设计圆管入口形状可以减小扰动。crRe竟可高达上述数字的十倍乃至数十倍，有人曾成功地把它提高至40000，它是否存在上限，现在还不清楚，当然我们不能就此而怀疑它的存在。但crRe的下限确实存在，其值与Reynolds的实验值2300大致相符，Re低于这一下限，扰动能随时间自然衰减，流动处于稳定的层流状态，Re高于这一下限的层流是不稳定的，稍有扰动就立即会转变成湍流。由层流至湍流的转变是可逆的，就是说如果圆管内的流动一开始便是湍流，当逐步降低管内流速时，可以在某一Re使湍流回复到层流状态，所以我们可以把2300Re作为判断粘性流体流动是层流还是湍流的准则。2300Re为层流，2300Re为湍流。Renolds数有着鲜明的物理意义，它表示流体运动中惯性力与粘性力之比。Re愈大，流体粘性所影响的范围就愈小。Re的极限情况就是理想流体。2.烟风洞试验烟风洞是利用烟流法观察空气流过物体的流动图形的设备，见图3.1.2所示。用电阻丝将矿物油加热，或用其它方法产生烟，然后通过等距离分布的并排金属管将烟引入烟风洞中。这些管子装在物体前面，气流带着烟流过物体，这些烟便明显的使人看出气流的流动。图3.1.3(a)，(b)，(c)，(d)为同一机翼不同攻角时的流动图形。流动图形的特点是：流体流过机翼时，烟流变密，流速加大，压力降低。机翼前部烟流分叉的地方称为驻点，该点速度为零。在物体尾部某一区域烟流被冲散，这里流动极不规则，称为尾迹或尾涡区。随着攻角的增大，机翼上面的烟流变密，下面的烟流变稀，上面流速变大，压力降低，而下面流速变小，压力增大。上下两表面的压力不能相互平衡，产生了向上的压力差，即升力。攻角愈大，上下两表面烟流的稀密程度相差愈大，压力相差愈大，因而升力愈大，同时机翼后部的尾涡区也变宽。当攻角增大至某一值后，机翼背面尾涡区过于扩大，旋涡的脱落和运动使机翼产生剧烈的振动，同时升力迅速降低，阻力急剧增大，这种现象称为“失速”。3.卡门涡街将一圆柱体垂直放入水槽中，在圆柱体前面撒上白色漂浮物，可以观察水流的流动图形。观察发现，在水流流速很慢时，将出现两个粘附在圆柱体后面的对称的漩涡。当水流速度增大到某一数值范围后，在圆柱体后面形成两列交错排列，转向相反，周期性的漩涡，其图形如图3.1.4所示，称为卡门涡街。电线在风中发声，潜艇的通气管在水中抖颤并发出噪声，都是由于卡门涡街的存在而引起的。通过以上试验现象，我们对流体的运动状态有了一定的感性认识，接下来我们将借助拉格朗日方法和欧拉方法对流体的运动作进一步的研究。3.2描述流体运动的两种方法描述流体的运动有两种方法：拉格朗日（Lagrange）法和欧拉（Euler）法。3.2.1拉格朗日（Lagrange）法拉格朗日法着眼于流体质点，它的基本思想是：跟踪每个流体质点的运动全过程，记录它们在运动过程中的各物理量及其变化。拉格朗日法是离散质点运动描述方法在流体力学中的延续。由于流体质点是连续分布的，肉眼无法区分，因此要研究某个确定的流体质点的运动，就必须有一个表征这个质点的办法，以使它和其它的质点区分开来。通常以流体质点在初始时刻0tt时的空间坐标),,(cba作为区分不同流体质点的标志。cba,,取不同值表示不同的流体质点。将初始时刻坐标cba,,和时间变量t称为拉格朗日变数，则流体质点的位移r、温度T、压力p等物理量是拉格朗日变数的函数),,,(tcbarr，),,,(tcbaTT，),,,(tcbapp（3.2.1）流体质点的位移函数),,,(tcbarr描绘的就是质点的轨迹。因此，流体质点的速度是位移对时间的导数tcbatcba,,,,,vrv（3.2.2）加速度为tcbatcba,,,,,ava（3.2.3）因为拉格朗日坐标（cba,,）对指定的流体质点是常量，与时间无关，因此上面位移和速度对时间的导数是偏导数而不是全导数。在上面三个表示式中（cba,,）取不同的值，表示不同流体质点的物理量随时间的变化。（拉格朗日法侧重于对流体质点细节的描述），例如，描述各流体质点在运动过程中所走的路径如何，在运动过程中各物理量是如何变化的等等。但多数情况下我们更关心由不同流体质点所占据的固定空间点上的物理量。例如，求航行的船体表面上的压力分布时，我们不需要跟踪流体质点，而是着眼于船体表面上的固定空间点，这时拉格朗日法就不方便了。3.2.2欧拉（Euler）法欧拉法着眼于空间点，又称空间点法。它的基本思想是：考察空间每一点的物理量及其变化。空间点坐标),,(321qqq和时间变量t称为欧拉变数，欧拉法中空间任一点的物理量是欧拉变数的函数，如),,,(321tqqqvv，),,,(321tqqq，),,,(321tqqqpp（3.2.4）被流体所占据的空间称为流场。可见欧拉法是一种场的方法，（3.2.4）式分别表示流场的速度分布、密度分布和压力分布，或称为速度场、密度场和压力场。因此，欧拉法中可以借助于场论知识研究流动问题。流体质点和空间点是二个完全不同的概念，它们既有区别，又有联系。流体质点是大量分子构成的流体团，而空间点是没有尺度的几何点。所谓空间一点的物理量就是指占据该空间点的流体质点的物理量，所谓空间点上物理量对时间的变化率就是占据该空间点的流体质点的物理量对时间的变化率。3.2.3质点导数流体质点的物理量对时间的变化率称为该物理量的质点导数。对于Lagrange法，给出的就是流体质点的运动和物理量，故任一流体质点),,(cba所具有的物理量tcba,,,B的质点导数就等于该物理量对时间的偏导数tB。当vB时),,,(),,,(tcbattcbaav（3.2.5）就是质点的加速度。对Euler法而言，给出的是物理量在空间的分布，对于一个确定的空间点，在不同时刻被不同的流体质点所占据，故不能简单的将质点导数理解为物理量对时间的偏导数，下面推导欧拉法中质点导数的表示式。如图3.2.1所示，设时刻t位于空间点),,(zyxM上流体质点的速度为kjivwvu，具有物理量),,,(tzyxB，经t时间，该质点经一段距离tv，运动到),,(twztvytuxM点，物理量成为),,,(tttwztvytuxB。根据质点导数的定义，物理量B的质点导数为ttzyxtttwztvytuxDtDt),,,(),,,(lim0BBB（3.2.6）利用Taylor级数展开式有2(,,,)(,,,)()xutyvtzwtttxyzttutvtwtOttxyzBBBBBB将上式代入（3.2.6）式右端，并略去高阶项得BMByxtvM图3.2.1zwyvxutDtDBBBBB（3.2.7）或BvBB)(tDtD（3.2.8）这就是用欧拉法表示的物理量B的质点导数，也称物质导数。DtD称为质点导数算子DtD=vt（3.2.9）由（3.2.8）式可见，欧拉法的质点导数由两部分组成：⑴tB称为局部导数，表示在一固定空间点，由于时间的变化而引起物理量的变化。它反映了流场的不定常性。若物理量B不随时间而变，则tB=0。⑵Bv)(称为迁移导数或对流导数，表示在同一时刻，由于空间位置的变化而引起物理量的变化，它反映了流场的不均匀性。若物理量B在空间上均匀分布，则0)(Bv。在以上推导中，B为任意物理量。当vB时，DtDv为欧拉法的质点加速度，即vvvva)(tDtD（3.2.10）式中tv为当地加速度或局部加速度，vv)(为迁移加速度或对流加速度。类似地当B时，密度的质点导数为vtDtD（3.2.11）为应用方便，下面给出质点加速度（3.2.10）式在直角坐标、柱面坐标和球坐标系中的表示式：直角坐标系（zyx,,）中zwwywvxwutwazvwyvvxvutvazuwyuvxuutuazyx（3.2.12）柱坐标系),,(zr中，利用（0.7.16）式，代入1,,1321hrhh得zvvvrvrvvtvarvvzvvvrvrvvtvarvzvvvrvrvvtvazzzzrzzrzrrzrrrrr2（3.2.13）球坐标系),,(R中，代入sin,,1321RhRhh得ctgRvvRvvDtDvactgRvRvvDtDvaRvRvDtDvaRRRR222（3.2.14）其中sinRvRvRvtDtDR。423..拉格朗日法和欧拉法的转换Lagrange法和Euler法是从不同的着眼点来表达流体的运动，它们之间可以相互转换。下面以速度为例给出tzyxtcba,,,,,,vvvv的转化。1.Lagrange法转变到Euler法Lagrange法表示的质点位移方程式（3.2.1）在直角坐标系中为),,,(),,,(),,,(tcbazztcbayytcbaxx（3.2.15）由于0tt时，czbyax,,，因此上式表示在0t以后任意时刻质点),,(cba的位置zyx,,与该质点初始时刻位置cba,,是一一对应的连续函数关系，因此式（3.2.15）必存在反函数),,,(),,,(),,,(tzyxcctzyxbbtzyxaa（3.2.16）将上式代入（3.2.2）式，就得到了用Euler变数表示的速度