不等式放缩法

利用放缩法证明数列型不等式一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。裂项放缩法主要有两种类型：（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。例1设数列na的前n项的和14122333nnnSa，1,2,3,n。设2nnnTS，1,2,3,n，证明：132niiT。点评：关键是将12(21)(21)nnn裂项成1112121nn，然后再求和，即可达到目标。（2）先放缩通项，然后将其裂成(3)nn项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。例2已知数列{}na和{}nb满足112,1(1)nnnaaaa，1nnba，数列{}nb的前n和为nS，2nnnTSS；（I）求证：1nnTT；（II）求证：当2n时，2nS71112n。点评：此题（II）充分利用（I）的结论，nT递增，将2nS裂成1122112222nnnnSSSSSSS的和，从而找到了解题的突破口。2、迭乘放缩法：放缩法与迭乘法的结合，用放缩法构造迭乘形式，相乘时消去中间项。用于解决积式问题。例3已知数列na的首项为13,a点1,nnaa在直线)(03*Nnyx上。若3*3log2(),nncanN证明对任意的*nN，不等式312111(1)(1+)(1+)31nnccc恒成立．点评：此题是证明积式大于根式，由于左边没有根式，右边是三次根式，立方后比较更容易处理。33131(1+)()32nncn可以看成是三个假分式的乘积，保持其中一项不变，另两项假分数分子分母同时加1，加2，则积变小，3313133131()323231332nnnnnnnnnn，而通项式为31{}32nn的数列在迭乘时刚好相消，从而达到目标。3、迭代放缩法：通过放缩法构造递推不等关系，进行迭代，从而求解。例4已知数列{}nx满足，1111,,*21nnxxnNx，证明：1112||()65nnnxx。点评：此题将目标式进行放缩得到递推不等关系，进行迭代，找到解题途径。4、等比公式放缩法：先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩实现目标转化。例5已知数列na的各项均为正数，且满足111122,(),1nnnnaaanNaa记2nnnbaa，数列nb的前n项和为nx，且1()2nnfxx．（I）数列nb和na的通项公式；（II）求证：12231()()()1()2()()()2nnfxfxfxnnnNfxfxfx．反思：右边是2n，感觉是n个12的和，而中间刚好是n项，所以利用1211212nn；左边是12n不能用同样的方式来实现，想到11(())(()0)222nnfnfn，试着考虑将12121nn缩小成1({}2nncc是等比数列），从而找到了此题的突破口。5.放缩后转化为等比数列。例.{}nb满足：2111,(2)3nnnbbbnb（1）用数学归纳法证明：nbn（2）1231111...3333nnTbbbb，求证：12nT点评：把握“3nb”这一特征对“21(2)3nnnbbnb”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！5、比较放缩法：比较法与放缩法的结合，先进行比较（作差或作商），再进行放缩。例6在单调递增数列}{na中，11a，22a，且12212,,nnnaaa成等差数列，22122,,nnnaaa成等比数列，,3,2,1n．（I）分别计算3a，5a和4a，6a的值；（II）求数列}{na的通项公式（将na用n表示）；（III）设数列}1{na的前n项和为nS，证明：24nnSn，*nN．点评：此题在作差比较中实施裂项放缩，进而得到最后结果小于0，从而得证。6、单调函数放缩法：根据题目特征，构造特殊的单调函数，再进行放缩求解。例8设函数2()ln(1)fxxbx，其中0b．证明对任意的正整数n，不等式23111ln1nnn都成立．分析：欲证上述结论，直接作差比较23111ln1()nnn，无从下手；接着想到令23111()ln1()gnnnn，判断函数()(*)gnnN的单调性，由于定义域为正整数，不能用导数，只能计算(1)()gngn，其结果还是很难处理；联想到数列是一种特殊的函数，将命题加强，令1(0)xn，，判断函数32()[ln(1)](0)hxxxxx的单调性，如果在(0,)单调，则函数()gn也单调。7、二项式定理放缩法：在证明与指数有关的数列型不等式时，用二项式定理放缩特别有效。二项式定理放缩法有两种常见类型：（1）部分二项式定理放缩法：即只在式子的某一部分用二项式定理放缩。例6已知数列{}na满足aa1(2)a，1(46)41021nnnanan（nN）．（Ⅰ）证明数列221nan是等比数列，并求出通项na；（Ⅱ）如果1a时，设数列{}na的前n项和为nS，试求出nS，并证明当3n时，有34111110nSSS．21反思：为什么会想到将11(21)(21)nnSn放缩成1(21)(21)nn？联想到1111111223(1)1nnn，因为要证明110，而34111nSSS是一个数列前n项的和，最后通过放缩很可能变成1()(()0)10fnfn的形式，而110应是由31137S放缩后裂项而成，311111()35235S，111(21)(21)(21)(21)nnSnnn111()22121nn，此时刚好得到341111111()252110nSSSn，接下来就要处理1212nn，想到用二项式定理。（2）完全二项式定理放缩法：整个式子的证明主要借助于二项式定理。例7设数列{}na的前n项和为nS，且对任意的*nN，都有333120,nnnaSaaa.(I)求12,aa的值；（II）求数列{}na的通项公式na；（III）证明：21221nnnnnnaaa。点评：利用二项式定理结合放缩法证明不等式时，一定要紧密结合二项式展开式的特点，联系需证不等式的结构，通过化简、变形、换元等手段使问题得以解决。二、放缩法的注意问题以及解题策略1、明确放缩的方向：即是放大还是缩小，看证明的结论，是小于某项，则放大，是大于某个项，则缩小。2、放缩的项数：有时从第一项开始，有时从第三项，有时第三项，等等，即不一定是对全部项进行放缩。3、放缩法的常见技巧及常见的放缩式：（1）根式的放缩：111121kkkkk；（2）在分式中放大或缩小分子或分母：2111(2)(1)(1)kkkkkk；真分数分子分母同时减一个正数，则变大；，11nnnn；假分数分子分母同时减一个正数，则变小，如212221nnnn；（3）应用基本不等式放缩：222222nnnnnnnn；（4）二项式定理放缩：如2121(3)nnn；（5）舍掉（或加进）一些项，如：121321||||||||(2)nnnaaaaaaaan。4、把握放缩的尺度：如何确定放缩的尺度，不能过当，是应用放缩法证明中最关键、最难把握的问题。这需要勤于观察和思考，抓住欲证命题的特点，只有这样，才能使问题迎刃而解。再看例2，若构造函数2111711()(1)1(*)223212nnnnfnSnN，则(1)()fnfn1111718(1)23212nn111711(1)23212nn11112122222nnnn1717120221221212nnn前后不等号不一致，不能确定()fn的单调性，此时放缩过当，此题不适宜用单调函数放缩法。若要证明2(1)2nnS，则(1)()fnfn11113(1)2322nn1112(1)2322nn11112122222nnnn11112022222nnn，所以(1)()fnfn，从而()(*)fnnN递增，13()(1)1022fnf，所以2(1)2nnS成立，此时用单调函数放缩法可行。同样的题干，稍有调整，我们所用的方法便有不同。5、放缩法的策略以及精度的控制例10已知数列{}na的前n项和为nS，且满足111,20(2)2nnnaaSSn。（I）数列1{}nS是否为等差数列？并证明你的结论；（II）求nS和na；（III）求证：222212312nSSSS。简解：（1）（2）1(1)12,12(2)2(1)nnnSannnn；（3）证法一：当1n时，211142S成立；当2211112,()441nnSnnn，2222123111111111111[](1)441223(1)442231nSSSSnnnn=111111(1)4422nn综上所述，222212312nSSSS。证法二：222111111()441(21)(21)22121nSnnnnnn2222123111111111(1)(1)233521212212nSSSSnnn。点评：两种证法的不同在于策略的选择不同。方法一是将214n放大成2144nn，需从第二项起，要分类讨论；而方法二是将214n放大成2141n。明显241n比244nn大很多，2141n比2144nn更接近214n。从中可以发现放缩后的式子越接近放缩前的式子，即放缩程度越小，精确程度越高，保留的项就越少，运算就越简单。因此，在放缩时，要尽量缩小放缩度，提高放缩精度，避免运算上的麻烦。选取的例题都是高考或模拟考中的压轴题，有一定难度，从中我们可以发现放缩法是证明数列型不等式的压轴题的最重要的方法。对于某个题目可能用到单一的放缩法，也可能用到复合型的放缩法，在平时或考试中遇到数列型不等式的证明问题，我们不能望题兴叹，也不能轻言放弃，更不能盲目瞎撞。多想几个为什么：用放缩法能否解决，是哪种类型的放缩法，要注意什么问题等等。只有正确把握了放缩法的方法思路和规律特征，我们在证明数列型不等式的压轴题时，就会豁然开朗，快速找到突破口，成为解决此类题的高手。