函数的连续性与间断点(重点内容全)

函数的连续性与间断点一、函数的连续性1．增量：变量x从初值1x变到终值2x，终值与初值的差叫变量x的增量，记作x，即x＝1x－2x。（增量可正可负）。例1分析函数2xy当x由20x变到05.20xx时，函数值的改变量。2．函数在点连续的定义定义１：设函数y＝)(xf在点0x的某个邻域内有定义，如果自变量x的增量x=0xx趋向于零时，对应的函数增y＝)()(0xfxf也趋向于零，则称函数y＝)(xf在点0x处连续。定义２：设函数y＝)(xf在点0x的某个邻域内有定义，如果函数)(xf当0xx时的极限存在，即)()(lim00xfxfxx，则称函数y＝)(xf在点0x处连续。定义3：设函数y＝)(xf在点0x的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式0xx的一切x，所对应的函数值)(xf都满足不等式：)()(0xfxf，则称函数y＝)(xf在点0x连续。注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数)(xf在点0x连续，必须同时满足下列三个条件：（1）函数y＝)(xf在点0x的某个邻域内有定义（函数y＝)(xf在点0x有定义），（2）)(lim0xfxx存在；（3）)()(lim00xfxfxx。3．函数y＝)(xf在点0x处左连续、右连续的定义：（1）函数y＝)(xf在点0x处左连续)(xf在00,xx内有定义，且)()(lim000xfxfxx（即)()0(00xfxf）。（2）函数y＝)(xf在点0x处右连续)(xf在00,xx内有定义，且)()(lim000xfxfxx（即)()0(00xfxf）。显然，函数y＝)(xf在点0x处连续函数y＝)(xf在点0x处既左连续又右连续。(3)、函数y＝)(xf在点0x处连续是)(lim0xfxx存在的充分条件，而非必要条件。3、函数在区间上连续的定义定义4：如果函数y＝)(xf在某一区间上每一点都是连续的（如果此区间包含端点，且在左端点处右连续，在右端点处左连续），则称函数y＝)(xf在该区间上是连续的。例1：讨论下列函数在区间),(内的连续性（1）2)(xxf（2）xxfcos)(（3）xexf)(例2：设002sin)(2xaxxxxxf，试确定b的值，使函数)(xf在0x处连续。二、函数的间断点（一）．间断点概念：设函数)(xf在),(0xU内有定义（在点0x处可以无定义），如果函数)(xf在点0x处不连续，则称点0x为函数)(xf的一个间断点（或不连续点）。函数)(xf在点0x连续：函数)(xf在点0x不连续：（1）函数)(xf在点0x有定义，（1*）函数y＝)(xf在点0x没有定义（2）)(lim0xfxx存在；（2*）)(lim0xfxx不存在（3）)()(lim00xfxfxx（3*）)(lim0xfxx存在，但)(xf在点0x没有定义，或)()(lim00xfxfxx（二）.间断点的分类设0x为函数)(xf的一个间断点，1、第一类间断点)0(0xf，)0(0xf都存在，（1）若)0(0xf=)0(0xf，即)(lim0xfxx存在，此类间断点称为可去间断点。函数)(xf在点0x无定义，函数)(xf在点0x有定义，但)()(lim00xfxfxx。（2）若)0(0xf)0(0xf，即)(lim0xfxx不存在，此类间断点称为跳跃间断点。2.第二类间断点)0(0xf与)0(0xf中至少有一个不存在。其中有两类特殊的间断点：无穷间断点和振荡间断点。例3：讨论下列函数的连续性，若有间断点，指出其类型（1）xxxf2sin)(（2）xxf1arctan)(（3）231)(22xxxxf（4）xxf1sin)(