拓扑度

1拓扑度的唯一性在这一章中，我们将证明存在唯一函数:{(,,):ndfyR是有界开集,:nfR连续,满足(d1)(,,)1,didyfory.(d2)12(,,)(,,)(,,)dfydfydfy,当12,是不交开子集，满足12(\()).yf(d3)((,),,())dhtyt与[0,1]tJ无关,其中:nhJR连续,:nyJR连续且对任意[0,1]tJ，()(,)ytht.我们将证明可将条件归结为f是线性函数，即()fxAx，其中det0A.在这个简化过程中，我们介绍一个基本工具，它将在第二节拓扑度的构造中需要,并且你将看到同伦性不变性(d3)是一个非常有用的性质.下面给出本章中一些注.1.1注令12{(,,,):,1,2,,}nniRxxxxxRin,1221||()niixx.对于子集nAR，我们用,AA分别表示A的闭包和边界，若nBR，\{:}BAxBxA,它有可能是空集.以0x为中心，0r为半径的开球和闭球分别用000(){:|)}(0)nrrBxxRxxrxB和00()()rrBxBx表示.出特别说明外，总是表示nR的有界开子集。对于映射:nnfARR，我们令(){():}fAfxxA，1(){:()}}fyxAfxy.nR中的恒同映射用id表示,即()idxx,nxR.线性算子用其特征矩阵()ijAa表示,detA表示A的行列式.我们还将用到.kerLKronec记号,ij其中1ij,当ij,0ij,当ij.所以()ijid.若nBR是紧集即有界闭集,则()CB表示所有连续函数:nfBR组成的空间,且令0||max|()|Bffx,()fCB.如果有必要为了强调()mfBR,我们记(;)mfCBR.:nfR称为在点0x可微,若存在一个矩阵0()fx使000()()()(),fxhfxfxhh其中00{:}hxxxx,余项()h满足对0,存在0(,)0,x当0||(,),|hx有()|h.在这种情形下00()()iijjfxfxx表示f的第i个分量if关于jx的偏导数.关于余项,在本书很多地方用E.LandauAt记号要比要方便,即我们称当0h时,()(||)hoh当且仅当0h时,|()|||0hh.这样f在点0x的可微性描述为当0h时,000()()()(||)fxhfxfxhoh.这种方便包括书写方便例如若是常数,则(||)(||)ohoh,或若()(||)ihoh,1,2,i则12()()(||)hhoh.我们令()kC表示:nfR,在上k次连续可微函数组成的集合,()()()kkCCC,1()()kkCC.若0()fx存在则令00()det()fJxfx是f在0x的Jacobian行列式,若0()0fJx,则称0x是f正则点.由于这样的点起着非常重要作用,我们记(){:()0}ffSxJx,若从上下文比较清楚常简记为fS.而且若1()()ffyS,则nyR称为:nfR的正则值,否则称为奇异值.一般情况下,R值函数用希腊字母表示,向量值函数用拉丁字母表示.1.2从()C到()C.第一步我们将证明拓扑度d由C函数的值唯一确定.为此给出下面两个结果.命题1.1令nAR是紧集,:nfAR连续.则f可以连续延拓到nR,即存在连续函数:nnfRR使()()fxfx,xA.证明由于nAR是紧集,所以存在A至多可列个稠密子集12{,,}aa.令(,)xA表示点x到A的距离,即(,)inf{||:},xAxaaA设||()max{2,0}(,)iixaxxA,xA.则111(),()(2())2()(),iiiiiiifxxAfxxxfaxA是f的连续延拓.如果你觉得证明比较难,以后我们会给出一个更一般的延拓定理的较详细证明.命题1.2(a)令nAR是紧集,()fCA,0.则存在函数()ngCR使|()()|fxgx,xA.(b)给定1(),0fC,0使{:(,)}xx,则存在函数()ngCR使0||max|()()|.fgfxgx证明令f是f到nR的连续延拓,令()()()nRfxfxd,nxR,0,其中0()是磨光函数族,:nRR定义为211exp(),||1,1||()0,||1,cxxxx其中0c使1()1,nRxdx且1()()nxx.我们有(),()1,nnRCRxdx且(0)B是的支集,即Supp{:()0}(0),0nxRxB.因此()nfCR且当0时,()()fxfx关于xA一致.因此当充分小时，gf满足(a).第二部分通过()()()nRfxfxd，x，的微分可得.证毕.现在,考虑()fC,()yf.则(,())0yf,且存在()gC,使0||fg.函数:[0,1]nhR,定义为(,)(1)()()htxtfxtgx,则h连续且0|(,)||()|||0htxyfxyfg,x.因此,由(d3)中令()yty得(,,)(,,)dfydgy.1.3从奇异值到正则值.令()fC,()yf.若y是f正则值,则()fxy至多有有限个解.为此我们需要下列命题.命题1.3（反函数定理）令1()fC,0()0fJx,0x.则存在0x的邻域U使|Uf同胚于0()fx的某邻域.若你不记得通过通过Banach不动点定理的经典证明,我们以后给出一个一般的证明.这样,若y是正则值,则当()fxy时,()0fJx,由命题1.3知这样的解是孤立的,即若10()xfy,则存在邻域0()Ux使100()(){}fyUxx.因此,1()fy一定是有限集.否则由紧性一定存在解的聚点0x.由f连续性知0()fxy,因此由()yf知0x因此由命题1.3知存在0x的邻域U使|Uf同胚于0()fx的某邻域这与0x是聚点矛盾.因此()fxy的解是孤立的.现在,令0()yf是任意一点.则0()()Byf,其中0(())yf.因此令0(,)(),()(1)htxfxyttyty,0()yBy由性质(d3)知0(,,)(,,)dfydfy,0()yBy.下面的命题保证了0()By一定包含f的正则点,这样就可以考虑奇异值了.命题1.4令nR是开集,1()fC.则(())0nffS,其中n是n维空间的Lebesgue测度.证明这里你需要知道有关n是当[,]nJabR时,1()()nniiiJba和nMR是零测集（即()0nM）的充分必要条件是对任意0,存在至多可列个区间柱集iJ,使iiMJ,且()niiJ.显然至多可列个零测集的并还是零测集.由于nR中的开集可表示为可列个立方体的并,即iiQ,因此由于(())(())ffiifSfSQ,只要说明((()))0nffSQ,其中Q是立方体.设是Q侧棱长.由f在Q的一致连续性,给定0,存在mN,当||xxnm时有|()()|fxfx,,xxQ,因此10|()()()()|(())()|||||fxfxfxxxfxtxxfxxxxx.所以将Q分解成r个直径为的柱集kQ.由于n是kQ侧棱长,所以nrm且()()()()(,)fxfxfxxxRxx,其中|(,)|Rxx对于任意,kxxQ.现在,假设kfQS,选取xkfQS,令()Afx，()()()gyfxyfx，其中kkyQQx.则在kQ上我们有()()gyAyRy，|()||(,)|RyRxyx，.由于det0A,我们知道()kAQ包含于nR的一个(1)n-维子空间.因此,存在1nbR，1||1b，111(,)0niiixbxb，对任意()kxAQ.扩展1b成nR的标准基1{,,}nbb,我们有1()((),)niiigygybb，111|((),)||((),)||()|||gybRybRyb，|((),)||||||()|||igybAyRyA，1,2,,.in其中122,1|||()|()nijijijAaa.这样()()()kkfQfxgQ包含于围绕()fx区间kJ，满足()[2(||)]nkJA.由于f在最大立方体Q上有界,我们有()fxc，c为确定正数,特别的Ac.因此1(())rfkkfSQJ,111()2()2()rnnnnnnnkkJrccn，即由0的任意性知(())ffSQ是零测集.我们注意到命题1.4是Sard的特殊情况.若nR是开集,*可测,则*()f可测且**(())()nffJxdx;详细证明见Schwartz[2].1.4由C-算子到线性算子.现在我们只需考虑()fC，()fyfS.首先假设1()fy.由(d2)，令1，2我们有(,,)0dfy,因此1(,,)(,,)dfydfy，其中1是的开子集满足1(\)yf.由于1()fy，所以(,,)(,,)0dfydfy.当11(),,nfyxx,我们可选取ix的不交开邻域iU，由(d2)知1(,,)(,,)niidfydfUy.为计算(,,)idfUy,令()iAfx并注意到()()()iifxyAxxoxx，当0ixx。由于det0A我们知道1A存在,因此11zAAzAAz,即在nR上存在0c，使Azcz.利用上述估计我们令()ytty，(,)()(1)()ihtxtfxtAxx，则对任意[0,1]t，只要充分小当ixx有|(,)()||()0iiiihtxytAxxtoxxcxxoxx.因此由(d3)知(,(),)(,(),0)iiidfBxydAAxBx。若在\()iiUBx里()fxy,我们(d2)仍然有(,,)(,(),)iidfUydfBxy,因此(,,)(,(),0)iiidfUydAAxBx.由于ix是0iAxAx的唯一解,由(d2)知(,(),0)(,(0),0)iiirdAAxBxdAAxB，其中(0)()irBBx,在[0,1](0)rB上()0iAxtx，因此由(d3)知(,,)(,(0),0)iidfUydfxB.最后由(d2)指出,0r可以是任意的.这样我们达到了一个最简化的地步.1.5线性代数相关知识剩下唯一要说明的是若A是线性算子且det0A，则(,(0),0)rdAB是唯一确定的.我们将证明(,,0)sgndetdAA,即detA的符号函数.它的证明需要线性代数的一些基本知识，例如矩阵的若当分解.若你知道这个结果,就比较容易接受下面命题，下一章我们给出一个更一般结果的证明。命题1.5令A是nn实矩阵且det0A,令1,m是A的负特征值，1,m是det()Aid零点的重数,假设A有这样的特征值.则nR能分解