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目录摘要······················································1引言······················································2一.利用导数定义求极限····································2二.利用中值定理求极限···································2三.利用定积分定义求极限·································3四.利用施笃兹公式·······································4五.利用泰勒公式·········································5六.级数法···············································5七.结论·················································6参考文献·················································6内容摘要摘要:极限是数学分析中最基本、最重要的概念之一,极限是微积分的重要基础,研究函数性质的重要手段.极限是描述函数在无限过程中的变化趋势的重要概念,本文通过典型例题,举一反三,给出几种常用的求极限方法。极限的计算方法很多,并且有一定的规律和技巧性,对此,本文将根据实例进行分析、探讨,并归纳出一些计算方法.关键词:极限;计算;方法Abstract:thelimitisoneofthemostbasic,themostimportantconceptinmathematicalanalysis,thelimitisanimportantfoundationforthecalculus,animportantmeanstostudythefunctionofthenatureoftheconceptdescription.Thelimitisanimportanttrendintheinfiniteprocessfunction,throughtypicalexamples,inferotherthingsfromonefact,severalcommonlyusedmethodsforthelimits.Alotofcalculationmethodoflimit,andtherearerulesandskills,certainofthis,thispaperwillbebasedoncaseanalysis,discussion,andsumsupsomecalculationmethod.Keywords:limit;Calculation;methods引言:极限是分析数学中最基本的概念之一,用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。早在中国古代,极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。例如,3世纪中国数学家刘徽的割圆术,就是用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率的。随着微积分学的诞生,极限作为数学中的一个概念也就明确提出。但最初提出的这一概念是含糊不清的,因此在数学界引起不少争论甚至怀疑。直到19世纪,由A.-L.柯西、K.(T.W.)外尔斯特拉斯等人的工作,才将其置于严密的理论基础之上,从而得到举世一致的公认。数学分析中的基本概念的表述,都可以用极限来描述。如函数xfy在0xx处导数的定义,定积分的定义,偏导数的定义,二重积分,三重积分的定义,无穷级数收敛的定义,都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。一.利用导数定义求极限据文1定理1导数的定义:函数)(xf在0x附近有定义,对于任意的x,则)()(00xfxxfy如果xxfxxfxx)()(limlim0000存在,则此极限值就称函数)(xf在点0x的导数记为)('0xf.即xxfxxfxfx)()(lim)('0000在这种方法的运用过程中。首先要选好)(xf,然后把所求极限。表示成)(xf在定点0x的导数。例1:求axxaaxxaaaaxlim解:原式0)(limlim1lim0axxaaxaaxaxxaaaxxaaaaxaaaaaxxaxx,令axxay,当ax时,0y,故原式aaaaaaayyaln|)'(0一般地,能直接运用导数定义求的极限就直接用导数定义来求,值得注意的是许多从表面看起来,不能直接用导数定义但经过恒等变形后,都可以利用导数定义来求,如上述例题。二.利用中值定理求极限2.1利用微分中值定理求极限计算数列和函数的极限时,经常遇到的多是00,0,0···的不定形式,其中有时0也以差的形式出现,这就给应用微分中值定理提供了机会,微分中值定理把差化成积之后,就可在积的极限中,用等价无穷小进行代换,从而起到化繁为简的作用,另一方面,微分中值定理把函数差变成其间的导数值这种转化往往能变难为易。例2:求1limmmnaan0a解:因为ma和1ma可以看成指数函数xa在nx1和11nx两点处的函数值,又因aaaxxln)'(故由微分中值定理知)1(1ln1nnaaaamm,其中1nn,于是annnaaanmmln)1(11故得aaanmmnlnlim1例3:求xxxlnsin)1ln(sinlim解:由微分中值定理知lncoslnsin)1ln(sinxx,其中1xx,而1lncos,故0lnsin)1ln(sinlimxxx从以上两例可以看出,当不定式中的0以同一函数在不同的两点之差的形式出现时,利用微分中值定理求极限,有统一简便且易于掌握的优点。2.2利用积分中值定理求极限据文1定理9.7积分中值定理:如果函数xf在闭区间ba,上连续,那么一定存在ba,,使fabdxxfba如果某些数列含有带参数的定积分,并且定积分不易计算,那么在求这类数列的极限时应当首先考虑利用积分中值定理脱去积分符号,然后再作进一步的处理。例4:求dxxxIpnnn2sinlim(0p)解:利用积分中值定理,得22sinsinpdxxxpnn(pnn)因为无穷小与有界量的乘积还是无穷小,所以0sin1limsinlimsinlim2222n故所求极限0sinlim2npI例5:求21arctanlimnxdxIn解:作变量代换:nxu则ndxdu于是nnnnnnnnuduudunudunI22arctanarctan1limarctan1limnnnudun2arctan1lim(利用定积分的对称性,第一项积分为零)=arctan21limnnnn(nn2)(利用积分中值定理)=2arctanlimarctanlimn所以原式21arctanlimnxdxIn=2三.利用定积分定义求极限据文1定理2:设f是定义在ba,上的一个函数,J是一个确定的实数,若对任给的正数,总存在某一正数,使得对ba,的任何分割T,以及在其上任意选取的点集i,只要T,就有niiiJxf1)(,则称函数f在区间ba,上可积或黎曼可积,数J称为f在ba,上的定积分或黎曼积分,记作dxxfJba)(例6:22212111limnnnnnn解:记f(x)=211x,x1,0,则xf在1,0上连续,所以可积,取T={0,n1,n2,nn,},i=ix=ini,i=1,2,,n则1021xdx=iniiTf10lim=ninnin12_111lim=22212111limnnnnn=-10|11x=(-21)-(-1)=21例7:41limnn(1+332n)解:记xf=3x,则xf在1,0上连续且可积,取T={0,n1,n2,,nn}iixinii,=1,2,,n则dxx103=iniiTf1lim=311limninnin=33343211limnnn=41|4110运用该方法时,通常是将所求式转化成和式nabniabafni1))((的极限,相当于定积分中的nabxi,niabai)(也就是将区间ba,等分,每个小区间的长度为nab,取每个小区间的右断点为niabai)(,这样就可以将和式的极限nabniabafnin1))((lim写成定积分dxxfba)(形式。四.利用施笃兹公式据文2117页定理6:设数列nx及ny满足:(1)nnyy1(n=1,2,3,····);(2)nnylim;(3)nnnnnyyxx11lim存在(有理数或者是)则nnnnnnnnyyxxyx11limlim例5:求nnn111lim(0)解:利用施笃兹公式原式=nnnnnnn1111lim1lim1=nnnnennnn11lim11ln1lim11lim11ln=1例8:求nnnln1211lim解:因为nnn,11111ln利用施笃兹公式,便有原式=111ln1lim1lnln1limnnnnnnn=nnn1lim=1推论1:若存在(有限数或者是),则其算术平均值数列nxxxn21(n=1,2,3,····)的极限也存在,并且nnnnxnxxxlimlim21推论2:若0nx且nnxlim存在(有限数或者是),则其几何平均值数列nnxxx21(n=1,2,3···)的极限也存在,并且nnnnnxxxxlimlim21例9:设0nx,并且0lim1lxxnnn,证明lxnnnlim证明:由条件0lim1lxxnnn,即正项数列,,,,123121nnxxxxxxx当n时,有极限l,于是根据推论2,应有lxxxxxxxxnnnnnnnlimlim123121例10:求nnnn!1lim解:设0!nnnnx则!1!1limlim11nnnnxxnnxnnx=nnnnnnn111lim1lim=e1由例9便得ennxnnnnn1!1limlim在数列极限中,有一类数列极限用常规方法,是不容易解决或者是相当困难的,比如求10999433321lim,21limnnnnnn按通常的方法是先求和式nii13和nii19再求极限,显然第一步是困难的,对于这类型不定式nnyx极限,如果运用施笃兹定理将会得到一种简便的方法。五.利用泰勒公式求极限泰勒展开式:若f(x)在x=0点有直到n+1阶连续导数,///2()()(0)(0)()
本文标题:关于计算极限的几种方法
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