关于列车餐饮价格问题的数学建模实训论文

潍坊学院数学与信息科学学院数学建模实训论文实训题目：列车餐饮价格问题学生姓名、专业、班级：1、潘甜甜信息与计算科学2008级1班2、李芳芳信息与计算科学2008级1班3、杜晓雨信息与计算科学2008级1班指导教师：王儒智2010年12月数学与信息科学学院数学建模实训论文1目录摘要...............................................................................................................................2一、问题重述...............................................................................................................3二、问题分析...............................................................................................................3三、问题假设...............................................................................................................3四、符号说明...............................................................................................................3五、模型建立与求解...................................................................................................45．1模型一：........................................................................................................45．2模型二：........................................................................................................6六、模型分析...............................................................................................................9七、参考文献.............................................................................................................10八、附录.....................................................................................................................108．1附录一：.....................................................................................................108．2附录二：.....................................................................................................10数学与信息科学学院数学建模实训论文2摘要本文通过分析火车上盒饭和方便面的销售情况，对实际火车上快餐销售进行摸拟，根据价格与销售量的关系，运用供求理论建立微分方程模型，求解微分方程，从理论上求解出盒饭和方便面的销售量与价格之间的函数关系。再利用数学公式：效益销售量单价成本，计算出火车快餐销售的最大利润。对于本题，先找出盒饭和方便面销售量与价格之间的函数关系。设和分别为价格上涨时，盒饭和方便面的销售量减少率，C和1C是盒饭和方便面的成本价，根据微分方程模型，得到盒饭销售量与价格的函数关系：)(200cCecx，同理，亦可得出方便面销售量与价格的函数关系：)(111100)(cCecy。故总收入W为：)(1)(11100200cCcCecceW由于盒饭和方便面的销售量减少率和是未知的，首先假设和是固定值，可以根据总收入W的函数公式求出一个最大利润。而根据实际情况，价格较低时，销售量减少率较小；然后随着价格的增大，销售量减少率也增大，直到价格增大到一定程度时，销售量减少率趋于稳定，由此利用一个分段函数表示出价格与销售量减少率之间的关系。根据该分段函数与总收入W的函数，最终确定收入和价格的函数关系：)20(200)2010(20022.024.002.012ccecceWccc)9(100)93(100108.136.01154.036.006.01211121ceccecWcccc21，从而得出合适的盒饭价格为12元，方便面价格为4.8元，最大利润为310.7元。关键词：火车快餐、微分方程、供求理论、销售量减少率数学与信息科学学院数学建模实训论文3一、问题重述长途列车由于时间漫长，列车需要为旅客提供一天三餐。由于火车上各方面的成本高，因此车上食物的价格也略高。T238次哈尔滨到广州的列车，每天早餐为一碗粥、一个鸡蛋及些许咸菜，价格10元；中午及晚上为盒饭，价格一律15元。由于价格偏贵，乘客一般自带食品如方便面、面包等。而且列车容量有限，因此提供的用餐量及食品也是有限的，适当提高价格是正常的，但不能高得过头。假如车上有乘客1000人，其中500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人；另外，车上还可提供每餐100人的方便面。根据实际情况设计一个价格方案，使列车在用餐销售上效益最大。二、问题分析根据需求的定义以及我们自然的认识，商品价格越低，人们的需求量越大，因此，我们可以把需求函数近似的看做向右下方倾斜的曲线，也就是价格与需求量之间存在着反向变动的关系，即，在其他条件不变的情况下，需求量随着价格的上升而减少，随着价格的下降而增加。火车提供快餐只是火车的次营业务，因此火车运行商不可能把精力都投放到快餐的供给上来，而且火车车厢容量有限，这样火车快餐供给量基本上是稳定的。但是火车乘客的数量较大，他们对快餐的需求量大大超过了火车快餐的供给量。这样在市场价格情况下，就造成了火车快餐的供不应求。人们对火车快餐的需求量大于其供给量，如果火车快餐保持原价的话，就会出现争抢的局面，而且不利于火车运营商获取超额利润。在这种情况下，火车运营商一方面为了获取超额利润，另一方面为了火车平安稳定的运行，他都要将价格提高。随着价格的慢慢提高，从收入低的旅客们开始慢慢地减少对火车快餐的需求。火车快餐价格提的越高，人们的需求量越小，直到达到供给与需求的均衡点，这样就造成了火车上快餐的价格远远的高于市场上快餐的价格。而选择消费火车快餐的群体一般是那些收入较高或中等收入的群体。三、问题假设1、列车上每餐只提供盒饭和方便面两种食物。2、每位乘客每餐只需要一盒盒饭或一袋方便面。3、火车快餐每餐的成本0W是固定不变的。四、符号说明c单个盒饭的价格数学与信息科学学院数学建模实训论文41c单袋方便面的价格盒饭价格上涨时，销售量减少率方便面价格上涨时，销售量减少率cx盒饭价格为c时，每餐盒饭销售量1cy方便面价格为1c时，每餐方便面销售量W总收入0W固定成本五、模型建立与求解5．1模型一：因为在火车上，餐饮量不会受到外界太多影响，所以每餐的餐饮销售量不会有太大偏差，所以只考虑一顿饭的总收入；且每餐成本稳定为0W，这样要求最大收益只需考虑一顿饭的最大收入即可。1、首先找出销售量与价格之间的函数关系：当盒饭的价格由c上涨到cc时，销售量的减少量为)1.1(ccxcxccx对上式整理得：)2.1(xdcdxcxccxccx进一步推导：当c为盒饭成本价C时，因为此时需求量大于供应量，故而所有的盒饭都卖光，此时200Cx，于是建立方程组：)3.1(200Cxxdcdx解方程组（1.3）得盒饭销售量与价格之间的函数关系：)4.1(200)(cCecx数学与信息科学学院数学建模实训论文5)(cx大体图像如下：图1盒饭价格与销售量的关系同理，可以求得方便面销售量与价格之间的关系：当1c为方便面成本价1C时，100)(1Cy，于是有：)6.1(100)()5.1(100)()(11111cCecyCyydcdy整理上方程组得：上式的图像大致为：图2方便面价格与销售量的关系注：（1.4）和（1.6）式中的C和1C分别表示盒饭和方便面的成本价，在此假设10C，31C。则固定成本23003100102000W。2、求出销售量与价格之间的函数关系后再求一顿饭的总收入。总收入=价格×销售量)7.1()()(11cycccxW将（1.4）和（1.6）式代入（1.7）式得：)8.1(100200100200)3(1)10()(1)(111cccCcCecceecceW要想求总收入W的最大值可以分别求出盒饭、方便面的收入最大值1W和2W。数学与信息科学学院数学建模实训论文6)10.1(100)9.1(200)3(12)10(11ccecWceW对（1.9）和（1.10）式分别求收入对价格的导数：)1(100)1(2001)3(2)10(11ceWceWcc01W时1c；02W时11c当1c时，01W，则1W单调递增；当1c时，02W，则2W单调递减，所以1c时1W达到最大点。同理11c时2W达到最大点。由此要确定最大收入，就要知道销售量减少率，求列车快餐的最大收入，可以运用调查问卷的形式来确定销售量减少率和的值。例如：若盒饭销售量减少率05.0，则制定盒饭价格20c，此时盒饭收入最大24261W元；同样方便面销售量减少率1.0，则制定方便面价格101c，此时方便面收入最大4972W元。最大利润=最大收入-固定成本，得最大利润=2923-0W=2923-2300=623元。5．2模型二：由（1.9）和（1.10）式知总收入与快餐的价格及减少率有关。因为不同的消费者对于商品价格的承受能力是不同的，即不同的价格对应的销售量减少率是不同的。所以下面讨论价格与减少率之间的关系。要确定价格上涨时对销售量减少率的影响，就要考虑消费者的需求和购买行为及价格上涨时消费者的承受能力。由于价格较低时，可以承受的消费者人数较多，此时减少率较小；而当价格慢慢上升超出大部分消费者承受价格的范围，人数减少的速度增快，即减少率增大；当价格增大到一定程度时，所能消费者的承受能力基本稳定，减少率趋于稳定。根据分析可画出减少率与价格的大致图像：数学与信息科学学院数学建模实训论文7图3价格与减少率的关系假设价格与减少率之间存在函数关系：根据实际假设当盒饭价格为成本价10C时，盒饭全部卖出，则盒饭的销售量减少率0;当盒饭价格20c时，减少率达到最大值2.0；当20c时，将稳定不再发生变化，如下图：图4盒饭价格与减少率的关系)20(2.0)2010()(ccBAcc从而得02.0