巴特沃斯滤波器设计

鞍山科技大学电信学院电子教研室第五章IIR数字滤波器设计电子教案二、巴特沃斯（Butterworth）低通滤波器的设计巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数定义为2221|()|1NHjC（5-8）其中C为一常数参数，N为滤波器阶数，为归一化低通截止频率,/p。式中N为整数，是滤波器的阶次。巴特沃斯低通滤波器在通带内具有最大平坦的振幅特性，这就是说，N阶低通滤波器在0处幅度平方函数的前2N-1阶导数等于零，在阻带内的逼近是单调变化的。巴特沃斯低通滤波器的振幅特性如图5-5所示。滤波器的特性完全由其阶数N决定。当N增加时，滤波器的特性曲线变得更陡峭，这时虽然由（5-8）式决定了在p处的幅度函数总是衰减3dB，但是它们将在通带的更大范围内接近于1，在阻带内更迅速的接近于零，因而振幅特性更接近于理想的矩形频率特性。滤波器的振幅特性对参数N的依赖关系如图5-5所示。设归一化巴特沃斯低通滤波器的归一化频率为，归一化传递函数为()Hp，其中pj，则由（5-6）式和（5-8）式得：2221()1(1)NNpjHjCp由于221()()()1()aajsNcHsHsAsj（5-9）所以巴特沃斯滤波器属于全极点滤波器。1、常用设计巴特沃斯低通滤波器指标p：通带截止频率；p：通带衰减，单位：dB；s：阻带起始频率；s：阻带衰减，单位：dB。说明：（1）衰减在这里以分贝（dB）为单位；即N=4N=10N=21p2()Hj0.707图5-5巴特沃斯低通滤波器的振幅特性1psps()Hj图5-6巴特沃斯低通滤波器指标鞍山科技大学电信学院电子教研室第五章IIR数字滤波器设计电子教案222110lg10lg1()NCHj（2）当3dB时pC为通常意义上的截止频率。（3）在滤波器设计中常选用归一化的频率/C，即1,pspspp2、巴特沃斯低通滤波器设计实质根据设计指标要求p，p，s，s确定归一化巴特沃斯低通滤波器幅度平方函数中的待定系数C及滤波器的阶数N；然后再根据幅度平方函数确定巴特沃斯低通滤波器的传递函数H(s)。（1）将实际频率归一化得1ppp，ssp，再根据已知的p，s，幅度平方函数2221|()|1NHjC确定C和N。（2）求C和N由2221()10lg10lg1()NCHj并带入p，p，s，s得222210lg10lg11NppNssCC即22221010101011NpNspsCC因为1p，所以210101pC由10102210101101101sspNsC两边取对数得：lglgsaN其中1010101101spa这样可以求出C和N。鞍山科技大学电信学院电子教研室第五章IIR数字滤波器设计电子教案注意：当3pdB时，20.3101011011pC，即C=1，此时巴特沃斯滤波器只剩下一个参数N。（3）确定巴特沃斯滤波器的传递函数H(p)。由于22211()()()1(1)1()pNNNjHpHpGjppj由21(1)0NNp，解得极点为：212,1,2,,2kNNjkpekN将p左半平面的极点赋予()Hp即121()NHppppppp其中212,1,2,,kNNjkpekN为了便于设计，工程上已将当1p时，各阶巴特沃斯低通滤波器系统函数设计成表格供查阅，该表如表5-1所示。在表5-1中的函数被称为归一化巴特沃斯原型低通滤波器系统函数。表5-1归一化巴特沃斯模拟低通滤波器系统函数表阶次归一化系统函数111s21212ss3122123sss443212.63.42.61ssss5543213.23615.23615.23613.23611sssss（4）去掉归一化影响上面设计中采用归一化的频率即1p，而实际中截止频率为p，所以要进行如下的变量代换：ppspjj即()()pspHsHp综上，归纳出设计巴特沃斯低通滤波器的方法如下：鞍山科技大学电信学院电子教研室第五章IIR数字滤波器设计电子教案（1）计算归一化频率1ppp，ssp。（2）根据设计要求按照210101pC和lglgsaN其中1010101101spa计算巴特沃斯滤波器的参数C和阶次N；注意当3pdB时C=1。（3）利用N查表获得归一化巴特沃斯低通原型滤波器的系统函数()Hp；（4）令()Hp中的psp得到截止频率为p的巴特沃斯低通滤波器的系统函数。例5-2已知滤波器的3dB截止频率为50Hz，试求一个二阶巴特沃斯低通滤波器的实现方案。解：根据题义，滤波器设计指标为：截止频率50cfHz；阶数N=2；查表得归一化低通巴特沃斯原型滤波器的系统函数为：21()11.414Hppp2100ccfrad/s，代入()Hp得：24241()()11.414()()1001009.8710444.39.8710cspHsHpssss例5-3试设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求截止频率5000pfHz，通带最大衰减3pdB，阻带起始频率10000sfHz，阻带最小衰减30sdB。解：已知225000ppf，3pdB，2210000ssf，30sdB（1）计算归一化频率1ppp，2ssp。（2）计算出巴特沃斯滤波器的阶次N及C20.3101011011pC3100.31010110131.637101101spa则lglg31.6374.982lglg2saN鞍山科技大学电信学院电子教研室第五章IIR数字滤波器设计电子教案选择N=5。（3）利用N查表获得归一化巴特沃斯低通原型滤波器的系统函数()Hp；54321()3.23615.23615.23613.23611Hpppppp（4）去掉归一化影响2055448231232164205()()103.236105.236105.236103.2361010pspHsHpsssss三、切比雪夫（Chebyshev）滤波器设计巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带内还是阻带内都是频率的单调函数。因此，当通带的边界处满足指标要求时，通带内肯定会有裕量。所以，更有效的设计方法应该是将精确度均匀的分布在整个通带或阻带内，或者同时分布在两者之内。这样就可用较低阶数的系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。切比雪夫滤波器的振幅特性就具有这种等波纹特性。它有两种类型：振幅特性在通带内是等波纹的，在阻带内是单调的称为切比雪夫I型滤波器；振幅特性在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的称为切比雪夫II型滤波器。采用何种形式的切比雪夫滤波器取决于实际用途。图5-7和图5-8分别画出了N为奇数、偶数时的切比雪夫I、II型滤波器的频率特性。()Hjps/p2110N为奇数(a)1()Hj2110N为偶数(b)1图5-7切比雪夫I型滤波器的振幅特性（a）N=3，2dB通带波纹的切比雪夫振幅特性（b）N=4，2dB通带波纹的切比雪夫振幅特性()Hj2110N为奇数(a)1()Hj2110N为偶数(b)1图5-8切比雪夫II型滤波器的振幅特性ps/pps/pps/p鞍山科技大学电信学院电子教研室第五章IIR数字滤波器设计电子教案1、切比雪夫I型滤波器的基本特点现在介绍切比雪夫I型滤波器的设计，切比雪夫归一化滤波器的幅度平方函数为22221()()1NAHjc（5-11）为小于1的正数，表示通带内振幅波动的程度。越大，波动也越大。/p为对截止频率p的归一化频率，p为截止频率，也是滤波器的通带带宽（注：切比雪夫滤波器的通带带宽并不一定是3dB带宽）。()NCx是N阶切比雪夫多项式，定义为11cos()01()()1NNcosxxCxchNchxx（5-12）其中1cos()x为反余弦函数；()chx为双曲余弦函数；1()chx为反双曲余弦函数；它们的定义如（5-13）式和（5-14）式所示2xxeechx（5-13）12()()ln(1)chxarcchxxx（5-14）（5-12）式可展开为多项式的形式如表5-2所示：由表5-2可归纳出各阶切比雪夫多项式的递推公式为11()2()()NNNCxxCxCx（5-15）图5-9示出了N=0，4，5时切比雪夫多项式的特性。由图5-9可见：1.切比雪夫多项式的零值在01x的间隔内。2.当x1时，()1NCx，且具有等波纹幅度特性。3.在1x的区间外，()NCx是双曲余弦函数，随着x而单调增加。再看函数22()NCx，是小于1的实数，22()NCx的值在1x之内，将在0至2之间改变。而221()NCx的函数值在1x之内，将在1至21之间改变。然后将221()NCx取倒数，即可得（5-11）式的切比雪夫I型滤波器幅度平方函数。根据以上所述，在1，2()Hj在接近1处振荡，其最大值为1，最小值为211。在此范围之外，随着增大，N()NCx011x2221x3343xx442881xx表5-2切比雪夫多项式展开式1-11()NCx4()Cx5()Cx0()Cxx图5-9切比雪夫多项式曲线0鞍山科技大学电信学院电子教研室第五章IIR数字滤波器设计电子教案22()1NC，则2()Hj很快接近于零。图5-7画出了切比雪夫I型滤波器振幅特性曲线，从中可以看出：振幅特性()Hj的起伏为1～211，因2(1)1NC，所以在1p时，21()1Hj，即切比雪夫I型滤波器的截止频率并不对应3dB的衰减。2、切比雪夫I型滤波器设计方法由（5-11）式可知，要确定切比雪夫滤波器的幅度平方函数，需要确定三个参数：,c及N。下面研究如何确定这三个参数，具体步骤如下：(1)将实际频率归一化得1ppp，ssp再根据已知的p，s，幅度平方函数2221|()|1()NHjC确定和N。(2)确定和N。定义通带波纹(即通带衰减)()（以分贝为单位）为：2221()10lg10lg1()()NCHj代入p，p，s，s得222210lg10lg1()1()NppNssCC即22221010221()10()1011()NpNSpssCCchNch因为1p，2(1)1NC，所以210101p1010212210101101()101sspschNcha鞍山科技大学电信学院电子教研室第五章IIR数字滤波器设计电子教案则11()()schaNch其中1010101101spa这样可以求出和N，其中12()ln1chxxx。在已知、N、p的情况下，就可以根据幅度平方函数求出滤波器的零点和极点，从而确定滤波器的系统函数。n0a1a2a3a4a12db波纹（20.3493114,0.1220184）12.862775221.51620261.425624530.71569381.53489541.252913040.37905061.02545531.71686621.197385650.178923400.75251811.3