2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题详解

2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题详解一、选择题1.当0x时，下列无穷小量中最高阶的是（）A.20(1)xtedtB.30ln(1)xtdtC.sin20sinxtdtD.1cos30sinxtdt解析：选D。本题考查了无穷小量的阶的比较、变上限积分的函数的求导方法等。可用求导定阶法来判断。在0x时，2220(1)1xtxedtex，说明A是x的3阶无穷小量；33320ln(1)ln(1)xtdtxx，说明B是x的52阶无穷小量；sin2220sinsinsincosxtdtxxx；说明C是x的3阶无穷小量；21cos333302sinsin(1cos)sin()24xxtdtxxxxx，说明D是x的5阶无穷小量。故最高阶的是D.2.函数11ln1()(1)(2)xxexfxex的第二类间断点的个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：选C。本题考查了间断点的概念与分类、极限的计算。间断点有1,0,1,2x，由于1111ln1lim()lim(1)(2)xxxxexfxex；1100ln11lim()lim(1)(2)2xxxxexfxexe；1111ln1lim()lim(1)(2)xxxxexfxex；1122ln1lim()lim(1)(2)xxxxexfxex，故有3个第二类间断点。3.10arcsin()(1)xdxxxA.24B.28C.4D.8解析：本题选A。本题考查了定积分的计算，主要内容是第二换元积分法。2arcsin12/22000arcsin2sincos|.sincos4(1)xtxtdxttdttttxx4.已知2()ln(1),fxxx当3n时，(0)()nfA.!2nnB.!2nnC.2!nnD.2!nn解析：选A。本题考查了函数在0处的高阶导数的计算。根据泰勒公式来求解：由222211()ln(1)()()22nnfxxxxxxxoxn可知nx的系数为12n，()()(0)1!,(0)!22nnfnfnnn。5.关于,0,(,),0,,0,xyxyfxyxyyx给出下列结论：（1）(0,0)1fx；（2）2(0,0)1fxy；（3）,0,0lim(,)0xyfxy；（4）00limlim(,)0yxfxy其中正确的个数为（）A.4B.3C.2D.1解析：选B。本题考查了分块函数在分界线上某点处的偏导数求法、二元函数极限与累次极限等计算。需要用到偏导数的定义式。00(0,0)(,0)(0,0)0(1)limlim1xxffxfxxxx200,00,0,(0,)(0,0)(2)(,),0,,0lim,0,1lim,xxyyxyxyfffyffxyxyxyyxxyyyxyy因为当时，，故2(0,0)fxy不存在.(3)当0xy时，(,)(0,0)(,)(0,0)lim(,)lim0xyxyfxyxy；当0y时，(,)(0,0)(,)(0,0)lim(,)lim0xyxyfxyx；当0x时，(,)(0,0)(,)(0,0)lim(,)lim0xyxyfxyy，因此点(,)xy沿着任意方向趋近于(0,0)时，函数极限均为0,故,0,0lim(,)0xyfxy.(4)当0xy时，000limlimlim00yxyxy；当0y时，000limlimlim00yxyx；当0x时，000limlimlim0yxyyy；故00limlim(,)0yxfxy.6.设()fx在2,2上可导，且()()0fxfx，则（）A.(2)1(1)ffB.(0)(1)fefC.2(1)(1)fefD.3(2)(1)fef解析：本题选B。考查了函数的单调性，辅助函数构造等问题。由()()0fxfx，可知()()0fxfx，令0yy，求其通解，然后写出积分常数C的表达式就能得到辅助函数：()()xfxFxe，()()()0xfxfxFxe，由导数符号可知函数F(x)在2,2单调递增。由(0)(1)FF容易推得选B。7.四阶矩阵A不可逆，120A，1234,,,为矩阵A的列向量组，则*0AX的通解为（）A.112233xkkkB.112234xkkkB.112334xkkkD.122334xkkk解析：选C。本题考查了线性齐次方程组通解的结构、伴随矩阵秩的公式、AA*的公式。由于120A，故(*)1rA，再由伴随矩阵秩的公式,()(*)1,()10,()1nrAnrArAnrAn，可知(*)1,()3rArA。*0Ax的基础解系由3个解向量构成。又因为*AAAEO，A的每一列都1234,,,是*0Ax的解向量。只要找到*0Ax的3个无关解就构成基础解系。抓住120A这一条件。由111212341314*(,,,)AAAAOAA可知，1111221331440AAAA，因为120A，因此2可由134,,线性表示，故134,,线性无关。原因是1234()(,,,)3rAr，若134,,线性相关，则其中有一个向量可由其余两个线性表示，秩就小于3了，可推出矛盾。因此134,,为基础解系。8.A为3阶方阵，12,为属于特征值1的线性无关的特征向量，3为A的属于-1的特征向量，满足1111PAP的可逆矩阵P为（）A.1323,,B.1223,,B.1332,,D.1232,,解析：选D。本题考查了矩阵相似对角化的相关理论与特征向量的性质。矩阵P的每一列要与特征值对应起来。由题目已知，P的第一列与第三列必须是1的特征向量，P的第二列必须是-1的特征向量。由特征向量的性质，同一个特征向量的非零线性组合仍为该特征值的特征向量，特征向量乘以非零常数还是特征向量。可知选D。二、填空题9.设1ln122ttytx，则122ddtxy.答案：2解析：本题考查了由参数方程确定的函数的高阶导数的求导方法，复合函数的求导方法。由于2=1dxtdtt，211dydtt，1=dydxt，故2222322111=11ddtdydyttttdxdxtdtdtt2212tdydx.10.求xxyyd1d1310=.答案：92924解析：本题考查了计算累次积分过程中对某变量积分较困难时交换积分次序的思想。213111332333200000112=111(1)=1333xdxxdyxxdxxdxx原式（）3222422=21=221=9999原式（）（）11.设,sinarctanyxxyz则,0dz.答案：yxdd1解析：本题考查了具体的二元复合函数全微分的计算。2cos()1sin()dzyxydxxyxy，2cos()1sin()dzxxydyxyxy，代入0（，），2cos11(sin)dzdx，2cos11(sin)dzdx；(0,)(1)dzdxdy12.斜边长为a2的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中,且斜边与水面相齐，记重力加速度为g，水密度为，则三角形平板的一侧收到的压力为.答案：331ga解析：本题考查了定积分的物理应用：计算压力。2333001112()2()2()233aaFgayydygayydygaaga13.设xyy满足,02yyy且00y，10y，则xxyd0.答案：1解析：本题考查了二阶常系数线性齐次方程通解的求法和无穷限广义积分的计算！,02yyy所以特解方程：2212+2+1=0+1=0==1，（），通解为12=)xyCCxe(；212()xyeCCCx；又(0)0(0)1yy，；112120011CCCCC,=xyxe，从而++0000()(1)lim(1)lim(1)1xxxxxxyxdxxedxexexex。14.求aaaa011011110110.答案：244aa解析：本题考查了行列式的计算，利用性质降阶后计算。14011011110110110110(1)1111000100110110aaaaaaaaaaaaaaaaa313124421111(1)(1)(1)(1)2(2)4aaaaaaaaaaaa。三、解答题15.（本题满分10分）.求曲线011xxxyxx的斜渐近线。解析：本题考查了极限的计算和倾斜渐近线的求法。斜率1111limlimlime11xxxxxxxxykxxx，1111ln(1)ln(1)1120001ln(1)1200111limlimlimee111e111ee1e1limlimlimeee111ln(1)limlimeexxxxxxtttttttttttttxbykxxxxxttxtttttttt令2201112lim,e2ettt所以斜渐近线方程为：11e2eyx。16.（本题满分10分）设xf连续,且,1lim0xxfx，txtfxgd10求xg且证明xg在0x处连续.解析：因为,1lim0xxfx且xf连续，则00lim0xffx，,1lim0'0xxffx令xtu，则1001d=dxgxfxttfutx当0x时，2011'dxgxfxfuuxx因为100(0)d0gft所以02000d01'0limlimlim22xxxxfutgxgfxgxxx则201d,0'1,02xfxfuuxxxgxx022000000d1lim'limdlimlim111lim1222xxxxxxxfuufxfxgxfuuxxxxfxx则0lim'0xgxg所以xg在0x处连续17.（本题满分10分）求xyyxxf338的极值。解析：本题考查了二元具体函数的极值的求法。先求驻点，由024,03,22xyyxfyxyxfyx可得00yx或12161yx所以驻点为0,0或121,61xyxfAxx6,1,yxfBxyyyxfCyy48,代入0,0，此时02BAC所以不是极