2003年高考试题天津卷

高中数学网站长：郑建军-1-2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（新课程理工农医类）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）2)3(31ii（A）i4341（B）i4341（C）i2321（D）i2321分析：本题考查复数运算。本题选B，难度为★（2）已知)02(，x，54cosx，则tan2x＝（A）247（B）247（C）724（D）724分析：本题考查三角函数运算本题选D，难度为★（3）设函数.0,012)(21xxxxfx，，若f(x0)1，则x0的取值范围是（A）（－1，1）（B）（－1，＋∞）（C）（－∞，－2）（0，＋∞）（D）（－∞，－1）（1，＋∞）分析：本题考查分段函数，要对x进行分类讨论本题选D，难度为★★★高中数学网站长：郑建军-2-（4）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足)||||(ACACABABOAOP，＋，0，则P的轨迹一定通过△ABC的（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心分析：本题考查了平面向量的运算。要熟知三角形五心（重心：中线的交点；外心：垂直平分线的交点；内心：角分线的交点；垂心：高线的交点；旁心：略）本题选B，难度为★★★（5）函数11lnxxy，x∈(1，+∞)的反函数为（A）11xxeey，x∈(1，+∞)（B）11xxeey，x∈(1，+∞)（C）11xxeey，x∈(－∞，0)（D）11xxeey，x∈(－∞，0)分析；本题考查反函数的求解，注意定义域与值域。本题选B，难度为★★★（6）棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（A）33a（B）43a（C）63a（D）123a分析：本题考查立体几何面积与体积的问题，解此题时，可以考虑将八面体分拆成两个四面体来求体积，再作和。本题选C，难度为★★（7）设a0，f(x)＝ax2+bx+c，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为]40[，，则P到曲线y＝f(x)对称轴距离的取值范围为（A）]10[a，（B）]210[a，（C）|]2|0[ab，（D）|]21|0[ab，分析：本题考查导数求切线问题，先利用模版解出切点横坐标的范围，再求距离即可。本题选B，难度为★★★（8）已知方程(x2－2x+m)(x2－2x+n)的四个根组成一个首项为41的等差数列，则高中数学网站长：郑建军-3-|m－n|＝（A）1（B）43（C）21（D）83分析：本题考查等差数列基础知识，利用韦达定理和等差数列性质把根求出，进而求出m、n的值。本题选C，难度为★★（9）已知双曲线中心在原点且一个焦点为),(07F，直线1xy与其相交于M、N两点,MN中点的横坐标为32，则此双曲线的方程是（A）14322yx（B）13422yx（C）12522yx（D）15222yx分析：本题考查双曲线的基础知识，利用直曲联立的思想即可。本题选D，难度为★★★（10）已知长方形的四个顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)和D(0，1)，一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射CD、DA到AB和上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）．设P4的坐标为(x4，0)．若1x42，则tgθ的取值范围是（A）),(131（B）),(3231（C）),(2152（D）),(3252分析：本题考解三角形的内容，通过作图，由BP0的长度起逐步推出4AP的长度，再由已知解不等式即可求得后的结论。本题选C，难度为★★★（11）)(lim11413122242322nnnCCCCnCCCC（A）3（B）31（C）61（D）6分析：本题考查组合的的基本运算和极限运算。本题选B，难度为★★★高中数学网站长：郑建军-4-（12）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（A）3（B）4（C）33（D）6π分析：本题考查立体几何表面积与体积，首先要确定已知条件中的四面体为正四面体。再利用三角形相似以及勾股定理求得中心到顶点的距离。本题选A，难度为★★★第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．（13）9221)(xx展开式中x9的系数是．（14）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取_______，_______，_________辆．（15）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____种．（以数字作答）（16）下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是．（写出所有符合要求的图表序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知函数f(x)＝2sinx(sinx+cosx)．（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和最大值；（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f(x)的区间]22[，上的图象123456PMNPMNPMNPMNNPMlllll①②③④⑤高中数学网站长：郑建军-5-（18）（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离．A1B1C1BCDAEG25232185252321224485838388-2-1Oyx21高中数学网站长：郑建军-6-（19）（本小题满分12分）设a0，求函数)ln()(axxxf（x∈(0，+∞)）的单调区间．（20）（本小题满分12分）A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：对阵对员A队队员胜的概率A队队员负的概率A1对B13231A2对B25253A3对B35253现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为、．（Ⅰ）求、的概率分布；（Ⅱ）求E、E．高中数学网站长：郑建军-7-（21）（本小题满分12分）已知常数a0，向量c=(0，a)，i＝(1，0)．经过原点O以c+i为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i－2c为方向向量的直线相交于点P，其中∈R．试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值．若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由．（22）（本小题满分14分）设a0为常数，且an＝3n－1－2an－1（n∈N）．（Ⅰ）证明对任意n≥1，012)1(]2)1(3[51aannnnnn；（Ⅱ）假设对任意n≥1有anan－1，求a0的取值范围．2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学参考答案（新课程理工农医类）高中数学网站长：郑建军-8-一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分．（1）B（2）D（3）D（4）B（5）B（6）C（7）B（8）C（9）D（10）C（11）B（12）A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分．（13）221（14）6，30，10（15）120（16）①④⑤三、解答题：（17）本小题主要考查三角函数的基本性质和恒等变换的基本技能，考查画图的技能，满分12分．解（I）xxxxfcossin2sin2)(2xx2sin2cos1)4sin2cos4cos2(sin21xx)42sin(21x所以函数)(xf的最小正周期为π，最大值为21.（Ⅱ）由（Ⅰ）知x83888385y1211211故函数)(xfy在区间]2,2[上的图象是（18）本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想像能力和推理运算能力，满分12分．解法一：（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD8883838544222121232512xyO高中数学网站长：郑建军-9-所成的角．设F为AB中点，连结EF、FC，∵D、E分别是CC1、A1B的中点，又DC⊥平面ABC，∴CDEF为矩形．连结DF，G是△ADB的重心，∴G∈DF．在直角三角形EFD中，2231FDFDFGEF，∵EF＝1，∴.3FD……4分于是.,363212EGED∵,2EDFC∴.,,332221EBBAAB∴.323136sinEBEGEBG∴A1B与平面ABC所成的角是.32arcsin（Ⅱ）连结A1D，有EAADADEAVV11∵ED⊥AB，ED⊥EF，又EFAB＝F，∴ED⊥平面A1AB．设A1到平面AED的距离为h．则.EDShSAEAAED1又.24121111ABAASSABAAEA.2621EDAESAED∴.3622622hA1B1C1BCDAEFG高中数学网站长：郑建军-10-即A1到平面AED的距离为.362解法二：（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B与平面ABD所成的角．如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA＝2a，则A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)，A1(2a，0，2)，E(a，a，1)，)313232(，，aaG．∴)3233(，，aaGE，)120(，－，aBD．∴032322aBDGE，解得a＝1．∴)222(1，－，BA，)313432(，－，BG．∴372131323/14||||cos111BGBABGBABGA．A1B与平面ABD所成角是37arccos．（Ⅱ）由（Ⅰ）有A(2，0，0)，A1(2，0，2)，E(1，1，1)，D(0，0，1)．0)011()111(，，，，EDAE，0)011()200(1，，，，EDAA，∴ED⊥平面AA1E，又ED平面AED，∴平面AED⊥平面AA1E，又面AED面AA1E＝AE，∴点A1在平面AED的射影K在AE上．设AEAK，则)2(11，，AKAAKA．由01AEKA，即++－2＝0，解得32．∴)343232(1，，KA．A1B1C1xBDyAEGC(O)zK高中数学网站长：郑建军-11-∴362||1KA．故A1到平面AED的距离为362．（19）本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力．满分12分．解：)0(121)(xaxxxf．当a0，x0时f(x