简单曲线的极坐标方程课件(选修4-4)

1.3简单曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程f(,)=0有如下关系(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程f(,)=0；(２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上。则曲线Ｃ的方程是f(,)=0。求曲线的极坐标方程的步骤：与直角坐标系里的情况一样①建系（适当的极坐标系）②设点（设M（，)为要求方程的曲线上任意一点）③列等式（构造⊿，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）④化简（此方程f(,)=0即为曲线的方程）探究(,0)(0)(,)aCaa如图，半径为的圆的圆心坐标为你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标满足的条件吗？xC(a,0)OA），（M的圆的极坐标方程。为半径圆心在就是所以，aaaCa),0)(0,(cos2例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程简单？xOrM53cos5sin已知一个圆的方程是＝求圆心坐思考：标和半径。3110(cossin)10cos()226(5,),56解：原式可化为＝所以圆心为半径为））此圆过极点＝圆的极坐标方程为半径为（（圆心为Oaaaa)cos(2)0)(,(练习以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是.2cos.2sin44.2cos1.2sin1ABCDC新知一：圆的极坐标方程(１)圆心在极点，半径为a；(２)圆心在Ｃ(a,0)，半径为a；(３)圆心在(a,/2)，半径为a；(４)圆心在Ｃ(0,０)，半径为r。极坐标系中的一般方程＝a＝2acos＝2asin2+02-20cos(-０)=r2解:设P(ρ,θ)为圆周上任意一点,如下图所示,在△OCP中,CP=r,OC=ρ1,OP=ρ.根据余弦定理,得CP2=OC2+OP2-2OC·OP·cos(θ-θ1),即r2=ρ21+ρ2-2ρ1ρcos(θ-θ1).也就是ρ2-2ρ1ρcos(θ-θ1)+(ρ21-r2)=0.这就是圆在极坐标系中的一般方程.1:,A(85.,),3变式在极坐标平面上求圆心半径为的圆的方程cos()41、极坐标方程所表示的曲线是（）A、双曲线B、椭圆C、抛物线D、圆D？圆心坐标和半径是什么表示的圆的＝、曲线的极坐标方程sin42)3,5(、C)32,5(、D310cos()3、圆＝的圆心坐标是（）)0,5(、A)3,5(、BC(2,),r=22圆心坐标是半径是53cos5sin转化成直角坐已知标的思考：方程一个圆的方程是＝如何再求圆心坐标和半径。2222253cos5sin53cos5sin535535()()2522535(,),522xyxyxy解：＝两边同乘以得＝－即化为直角坐标为　即所以圆心为半径是新知二：41)42()42(02222sin22cos224sinsin4coscos22222yxyxyx即＝解：cos()4把极坐标方程转化为直角坐标系下的方程方程是什么？化为直角坐标＝、曲线的极坐标方程sin414)2(22yx2(2,)2A、写出圆心在点处且过极点的圆的极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。222224cos()4sin24sin4(2)4xyyxy解：＝化为直角坐标系为＝即　　2123:2cos,:23sin20,CC、已知圆圆试判断两圆的位置关系。所以两圆相外切。半径为，圆心半径为圆心坐标方程为解：将两圆都化为直角21)3,0(1)3(:1)0,1(,1)1(:2122221221OOOyxCOyxC化为直角坐标方程。－＝、把极坐标方程cos2441648316844)4(4424cos22222222yxxxxyxxx＝两边平方得：＋＝即－解：方程可化为例题1：求过极点，倾角为的射线的极坐标方程。4oMx﹚4分析：如图，所求的射线上任一点的极角都是，其/4极径可以取任意的非负数。故所求直线的极坐标方程为(0)4引例1、求过极点，倾角为的射线的极坐标方程。545(0)4新知三过极点的直线极坐标方程2、求过极点，倾角为的直线的极坐标方程。4544或0()4R或5()4R(0)()R表示极角为的一条射线。＝表示极角为的一条直线。例题2、求过点A(a,0)(a0)，且垂直于极轴的直线L的极坐标方程。解：如图，设点(,)M为直线L上除点A外的任意一点，连接OMox﹚AM在中有RtMOAcosOMMOAOA即cosa可以验证，点A的坐标也满足上式。求直线的极坐标方程步骤1、根据题意画出草图；2、设点是直线上任意一点；(,)M3、连接MO；4、根据几何条件建立关于的方程，并化简；,5、检验并确认所得的方程即为所求。例3：求过点A(a,/2)(a0)，且平行于极轴的直线L的极坐标方程。解：如图，建立极坐标系，设点为直线L上除点A外的任意一点，连接OM(,)M在中有RtMOA即可以验证，点A的坐标也满足上式。Mox﹚Asin＝aIOMIsin∠AMO=IOAI例4：设点A的极坐标为直线过点A且与极轴所成的角为,求直线的极坐标方程。(,0)all解：如图，设点(,)M为直线上异于的点l连接OM，﹚oMxA在中有MOAsin()sin()a即sin()sina显然A点也满足上方程。例5：设点P的极坐标为，直线过点P且与极轴所成的角为,求直线的极坐标方程。11(,)lloxMP﹚﹚11A解：如图，设点(,)M的任意一点，连接OM，则,OMxOM1OP1xOP为直线上除点P外由点P的极坐标知设直线L与极轴交于点A。则在中MOP1,()OMPOPM由正弦定理得11sin[()]sin()11sin()sin()显然点P的坐标也是上式的解。即OMPOPOPMOMsinsin小结：直线的几种极坐标方程1、过极点2、过轴上某定点，且垂直于极轴4、过轴上某定点，且与极轴成一定的角度()R＝cosasin()sina3、过A(a,/2)(a0)，且平行于极轴sin＝a5、过轴外某定点，且与极轴成一定的角度11sin()sin()平行于极轴的直线。、求过点练习)4,2(1AOHMA)4,2((,)(2,)42sin24sin,sin2(2,)4sin2lMAMHRtOMHMHOMA解：在直线上任意取点在中，＝即所以，过点平行于极轴的直线方程为的直线的极坐标方程。且斜率为、求过2)3,2(2A程这就是所求的极坐标方得代入直线方程将为直线上的任意一点，设角坐标系内直线方程为解：由题意可知，在直07sincos2072sin,cos),(072yxyxMyx表示的曲线是、极坐标方程)(31sin3RA、两条相交的直线B、两条射线C、一条直线D、一条射线所以是两条相交直线两条直线即所以得可得解：由已知042:,042:4242tan322cos31sin21yxlyxlxy4cos24cos2,sin2sin2,2sinABCD、直线关于直线＝对称的直线方程为、、、、＝()B2sin22化为极坐标方程为即的对称直线的问题关于线解：此题可以变成求直yxyx3cos3cos33sin33sin)6sin(125、、、、直线的极坐标方程是的，则过圆心与极轴垂直＝一个圆的方程为、在极坐标系中，已知DCBA()C4cos,4cos2cos,2sinsin46、、、、直线的方程是相切的一条＝、在极坐标系中，与圆DCBA()B2cos24)2(04sin42222化为极坐标方程为圆的方程为那么一条与此圆相切的即的化为直角坐标方程是＝解：圆xyxyyx