24.1.4圆周角PPT

1.圆心角的定义?.OBC在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦、弦心距有一组量相等，那么它们所对应的其余三个量都分别相等。答:顶点在圆心的角叫圆心角2.上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、弦、弦心距四个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？一、复习引入:3.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图,人们可以通过其中的圆弧形玻璃AB观看窗内的海洋动物,同学甲站在圆心的O位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（∠AOB和∠ACB）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在他靠墙的位置D和E，他们的视角（∠ADB和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？甲OBA丙D乙C丁E顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角．什么叫做圆周角？·ABCDEO一、概念如图：∠ADB,∠ACB,∠AEB都是⊙O的圆周角辩一辩图中的∠CDE是圆周角吗?CDECDECDECDE圆周角：__________，并且角的______________。圆心角:___________的角.顶点在圆上两边都和圆相交顶点在圆心如图，在⊙O中，请画出BC所对的圆心角和圆周角。CBO二.探究同弧所对圆周角与圆心角的关系如图，⊙O中，同弧所对的圆心角和圆周角情况：CBOACBOACBOA圆心在圆周角内部圆心在圆周角一边上圆心在圆周角外部（1）在圆周角的一条边上；·COABBOCA21即∵OA=OC，∴∠A=∠C．又∠BOC=∠A+∠C∴∠BOC=2∠A（2）在圆周角的内部．CB·OD圆心O在∠BAC的内部，作直径AD，利用（１）的结果，有12DACDOC1()2BADDACBODDOC12BACBOCA（3）在圆周角的外部．12BADBOD12DACDOC1()2DACDABDOCDOB12BACBOC圆心O在∠BAC的外部，作直径AD，利用（１）的结果，有·COABD结论：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．归纳在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半。圆周角定理：CBOACBOACBOA:∠A=1/2∠BOC或∠BOC=2∠A21OCAB1、已知∠AOB＝75°，求：∠ACB=OCAB2、已知∠AOB＝120°，求：∠ACB=ODBAC3、已知∠ACD＝30°，求：∠AOB=OBAC4、已知∠AOB＝110°，求：∠ACB=思考：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等吗？为什么？推论1在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等．因为，在同圆或等圆中，如果圆周角相等，那么它所对的圆心角也相等，因此它所对的弧也相等．·CBOAFGEABOC1.如图,AB是直径,则∠ACB=＿＿90度2.若∠ACB=900，弦AB是直径吗？推论2:半圆（或直径）所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径。∵AB是直径,∴∠ACB=900∵∠ACB=900，∴弦AB是直径三.圆内接多边形若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。OBCDEFAOACDEB如图：圆内接四边形ABCD中，∴∠A＋∠C＝180°同理∠B＋∠D＝180°圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的性质定理：·ABCDO如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆。思考：∠A+∠C=?能用圆周角定理证明你的结论吗？圆内接四边形的对角互补。∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C=1800思考：延长BC到E，∠DCE与∠A的数量关系？180°所以∠A＝∠DCE又∠A＋∠1＝180°CODBAE1∠DCE＋∠1＝圆内接四边形任意一个外角都等于它的内对角.推论：∠A与∠DCE为内对角例如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．86102222ACABBC又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，221052(cm)22ADBDAB解：∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．在Rt△ABC中，∵CD平分∠ACB，∴AD=BD..ACDBCD四、例题OABCD如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。推论3ACB∵在△ABC中CD=AD=BD∴∠ACB=90°.D求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）·ABCO求证：△ABC为直角三角形.证明：CO=AB,12以AB为直径作⊙O，∵AO=BO，∴AO=BO=CO.∴点C在⊙O上.又∵AB为直径,∴∠ACB=×180°=90°.12已知：△ABC中，CO为AB边上的中线，12且CO=AB∴△ABC为直角三角形.直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？练习：判断正误：1.同弧或等弧所对的圆周角相等（）2.相等的圆周角所对的弧相等（）3.90°圆周角所对的弦是直径（）4.直径所对的角等于90°（）5.长等于半径的弦所对的圆周角等于3（）√√×××填空：1.梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC,∠B=750,则∠C=_____DBACO圆的内接梯形一定是＿＿梯形。2.四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=______∠B+∠ADC=_______;若∠B=80°，则∠ADC=____∠CDE=______3.四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=100°则∠B=______∠D=______4.四边形ABCD内接于⊙O,∠A:∠C=1:3,则∠A=_____,EDBAC80DBACO100OCDBA已知：如图，四边形ABCD是圆的内接四边形并且ABCD是平行四边形。求证：四边形ABCD是矩形。•.如图，AB是⊙O的直径，∠A＝80°．求∠ABC的度数．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=900∴∠ABC＝180°－∠A－∠ACB＝180°－80°－90°＝10°．∴∠ABC的度数是10°．图23.1.12例如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D。经过点B的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F。求证：CE∥DF12OOFABECD1CE∥DF∠E＋∠F＝180°∠F＋∠1＝180°、∠1＝∠EABFD是⊙O1的内接四边形ABEC是⊙O2的内接四边形连结AB12OOFABECD1(1)一个概念（圆周角）内容小结：(2)一个定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半；(3)四个推论：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。同圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等。如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下．DABCOOO·方法一方法二方法三方法四AB练习