四升五奥数暑假教材(共10节)

第1讲等差数列初步一、教学目标1.理解数列与等差数列的定义，了解常见的规律数列；2.能运用“螳螂图”解决与等差数列相关问题。二、知识要点若干个数排成一列,称为数列。数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。三、例题精选【例1】已知等差数列1，4，7，10…..，求它的第65项是多少？【巩固1】已知数列2、5、8、11、14......，那么第88项应该是几？【例2】已知数列5、11、17、23、29......，那么761应该是其中的第几项？【巩固2】已知数列2、5、8、11、14......，那么128应该是其中的第几项？【例3】在6和81之间插入4个数,使它们组成等差数列,求这四个数?【巩固3】在12和60之间插入5个数，使它们组成等差数列。求这个5个数分别是多少？【例4】把100根小棒分成10堆，每堆小棒根数都是单数，且一堆比一堆少2根，应如何分？【巩固4】把120颗巧克力豆分成8堆，每堆都是双数，且一堆比一堆多2颗，那么最多的一堆有多少颗？【例5】把一堆苹果分给8个小朋友，要使每个人都能拿到苹果，而且拿到的苹果个数都不相同，那么这堆苹果至少应该有多少个？四、回家作业【作业1】求1,5,9,13,…这个等差数列的第3O项。【作业2】有一列数是这样排列的:2,11,20,29,38,47,56,…,求587是这个数列第几个项。【作业3】一个等差数列共有12项，首项是61，末项是6，求它的公差。【作业4】有一个数列:5,8,11,…,92,95,98,这个数列共有多少项?【作业5】甲乙两人都住在同一街道的同一侧，这一侧的门牌号码是按1、3、5、7...的规律排列的。甲住21号，乙住193号。那么甲、乙两人的住处间相隔着多少个门牌号码？第2讲等差数列求和一、知识要点1、定义：一个数列的前n项的和为这个数列的和。2、表达方式：常用Sn来表示。3、求和公式：和=(首项+末项)×项数÷2二、例题精选【例1】计算：2＋6＋10＋14＋……＋122＋126【巩固1】计算：1+4+7+11+13＋......＋85【例2】有一个数列：6、10、14、18、22……，这个数列前100项的和是多少？【巩固2】有一串自然数2、5、8、11、......,问这一串自然数中前61个数的和是多少？【例3】有从小到大排列的一列数，共有100项，末项为2003，公差为3，求这个数列的和。【巩固3】84个小朋友排成一排，每人背后贴了一个数。已知后一个同学贴的数都比前一个同学贴的数多3，小明站在第一个位置，小宏站在最后一个位置。如果小宏贴的数是255，求所有小朋友贴的数之和。【例4】一个等差数列共有15项，已知最中间的数是133，求这15个数的和。【巩固4】一个等差数列共有16项，已知第8项和第9项的和是24，求这个等差数列所有项之和。【例5】把自然数依次排成“三角形阵”，如图。第一排1个数；第二排3个数；第三排5个数......求：第10排的所有数字之和。三、回家作业【作业1】计算：6+11+16+21+26+31+36+41+46【作业2】计算：100+92+84+......+12【作业3】项共计算：12......161310【作业4】有12个数组成等差数列，第六项与第七项的和是12，求这12个数的和。【作业5】求100以内除以3余2（比如5,8等等）的所有数的和。第3讲三阶幻方一、知识要点三阶幻方的规律：（1）幻和=九个数之和÷3；（2）中间数=幻和÷3；（3）经过三阶幻方中心点的线成等差数列；（4）顶点数的“三角规律”。672159834二、例题精选【例1】在图中填上合适的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。【巩固1】在下图的方格中填上适合的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等738467【例2】在下图中填上适当的数，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。【巩固2】根据三阶幻方的特点，完成下列幻方。19141018313175【例3】在下图的每个空格中填入小于12且互不相同的九个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于21。【巩固3】在下列右图空着的方格内填上合适的数，使得每一横行、每一竖列和对角线上的三个数之和都等于27。812【例4】将1、2、3、7、8、9、13、14、15这九个自然数填在下面图中的九个方格里，使每行、每列、两条对角线上的三个数的和都相等。【巩固4】用3—11九个数构造一个三阶幻方。【例5】下面是一个四阶幻方，请补充完整。23024121816106432三、回家作业【作业1】把4～12九个数填入方格中，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。【作业2】使下图每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等，且等于45。192016【作业3】用1～9这9个数字补全图中的幻方，并求出幻和。【作业4】在下图的空格里填入不大于15且不相同的自然数，使每一行、每一列和每一条对角线上的三个数的和都等于30。5269第4讲还原问题一、教学目标1.了解常见的还原问题基本类型；2.能运用图示法和列表法解决单个变量还原问题和多个变量还原问题。二、例题精选【例1】某数先加上3，再乘以3，然后除以2，最后再减去2，结果是10，这个数是多少？【巩固1】某数经过加5，乘5，减5，除以5后，结果是5，这个数是多少？【例2】小马虎做一道减法题，把被减数十位的6当作9，把减数个位的3当成5，结果是217，正确的答案是多少？【巩固2】大虎马做一道加法题，把其中一个加数十位的9当作6，把另一个加数个位的3当成5，计算结果是100，正确的答案是多少？【例3】三只猴子分一堆桃子.如果：第一只猴子趁着晚上大家睡觉时，先去把桃子分成了3份，拿走了其中的一份；第二只猴子以为谁也没来分过，把剩余的桃子又分成3份，拿走了其中的一份；第三只猴子以为谁也没来分过，把剩余的桃子又分成3份，拿走了其中的一份；最后还剩下8个桃子.问这堆桃子原来是多少个？【巩固3】甲、乙、丙三位盲人到河边钓鱼，到了中午他们把钓的鱼都放在一个篓子里，就各自躺在岸边的柳树下睡觉了。甲先醒了，就将篓子里的鱼平均分成4份，他带走一份先回家了；乙醒来时以为另两人还在睡觉，也把篓子里的鱼平均分成4份，他也带走一份回家了；丙醒来后同样将篓子里的鱼平均分成4份，然后带走一份回家了；结果篓子里还剩下27条鱼。那么篓子里原来总共有多少条鱼？【例4】一个书架分上、中、下三层，一共放书24本。如果：①从上层取出与中层同样多的本数放入中层；②再从中层取出与下层同样多的本数放入下层；③最后又从下层取出与现在上层同样多的本数放入上层；这时三层书架中书的本数相等。这个书架原来上层、中层、下层各放书多少本？【巩固4】甲、乙、丙三人互相赠送图书。如果：①甲送乙24本，送丙10本；②乙送甲7本，送丙9本；③丙送甲10本，送乙5本；那么三人的图书都是48本。原来各有多少本图书？【例5】一筐鱼连筐共重122千克，卖出一半鱼后，再卖出剩下的鱼的一半，这时连筐还重35千克。原来筐和鱼各重多少千克？三、回家作业【作业1】一位老爷爷说，把我的年龄加上12，再用4除，然后减去15，再乘以10，恰好是100岁，这位老爷爷现在多少岁？【作业2】小强做一道整数加法题时，一个同学把个位上的数6看是9，把十位上的数8看作3，结果得出和为123，问正确的和是多少？【作业3】甲、乙、丙三人各有若干元钱，甲拿出一半平分给乙、丙，乙又拿出现有的一半平分给甲、丙，最后丙又拿出现有的一半平分给甲、乙。这时他们各有240元。问：甲、乙、丙三人原来各有多少钱？【作业4】某人带若干张1元纸币去集市上买东西。第一次用去所有纸币的一半多1张。第二次用去余下的一半多2张。第三次用去第二次余下的一半多3张，此时他花光了所有钱。最初这个人带了多少张1元纸币？第5讲定义新运算（一）一、教学目标1.理解定义新运算的概念，明确特殊的运算符号所表示的特定意义。2.严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。二、例题精选【例1】如果规定：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，求下式的结果：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)。【巩固1】一般我们都认为手枪指向谁，谁好像是有危险的，下面的规则同学们能看懂吗？规定：警察小偷警察，警察小偷小偷。那么：（猎人老鹰）（老鹰小鸡）______。．【例2】若*AB表示3ABAB，求5*7的值。【巩固2】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求6△（3△4）的值。【例3】规定运算“☆”为：若ab，则a☆b=a＋b；若a=b，则a☆b=a－b＋1；若ab，则a☆b=a×b。那么，求（2☆3）＋（4☆4）＋（7☆5）的计算结果。【巩固3】已知a,b是任意自然数,我们规定:+1abab,2abab。求4(68)(35)的值。【例4】有一个数学运算符号，使下列算式成立：248，5313，3511，9725，求73?【巩固4】“⊙”表示一种新的运算符号，已知：2⊙32+3+4；7⊙27+8；3⊙53+4+5+6+7，……按此规则，计算5⊙5的计算结果。【例5】规定新运算※:a※b=3×a-2×b.若x※(4※1)=7,求x的值。三、回家作业【作业1】如果有一种运算符号“△”：猫△猫=猫，狗△狗=狗，猫△狗=狗，狗△猫=狗；另有一种运算符号“□”：猫□猫=猫，狗□狗=狗，猫□狗=猫，狗□猫=猫。那么算式：猫△（狗□猫）□猫△（狗△狗），计算结果是什么？【作业2】设a△b=a×a—2×b。那么，5△6=______，(5△2)△3=_____.（写出计算过程）【作业3】M*N表示（M+N）÷2，求（2008*2010）*2009的值。【作业4】“¥”表示一种新的运算符号，已知：2¥32+23+234=259；7¥27+78=85；3¥53+34+345+3456+34567=38405，……按此规则，求5¥4的值。【作业5】对于数a、b、c、d，规定，a、b、c、d＝2×a×b－c＋d，已知1、3、5、x＝7，求x的值。第6讲逻辑推理（一）一、教学目标逻辑推理作为数学思维中重要的一部分，经常出现在各种数学竞赛中，除此以外，逻辑推理还经常作为专项的内容出现在各类选拔考试。常见类型列表推理法、假设推理、体育比赛中的数学、计算中的逻辑推理。二、例题精选【例1】甲、乙、丙三人中有一人是牧师，有一人是骗子，还有一人是赌棍．牧师从不说谎，骗子总说谎，赌棍有时说真话有时说谎话．甲说：“我是牧师．”乙说：“我是骗子．”丙说：“我是赌棍．”请问：甲、乙、丙三人中谁是牧师？谁是骗子？谁是赌棍？【巩固1】甲、乙、丙三人中有一位是意大利牧师，有一位英国骗子，还有一位美国赌棍。牧师不说谎话，骗子总说谎话，赌棍有时要说谎。甲说：“丙是牧师。”乙说：“甲是赌棍。”丙说：“乙是骗子。”请问：甲、乙、丙三人中谁是牧师？谁是骗子？谁是赌棍？【例2】有甲、乙、丙三位同学去动物园看到一只动物。甲判断：“不是马，不是驴。”乙判断：“不是马，而是骡。”丙判断：“不是骡，而是马。”经饲养员的证实，有一人判断完全正确，一个人只说对了一半，一个人则完全说错，那么这只动物究竟是？【巩固2】某地质学院的三名学生对一种矿石进行分析．甲判断：不是铁，不是铜．乙判断：不是铁，而是锡．丙判断：不是锡，而是铁．经化验证明，有一个人判断完全正确，有一人只说对了一半，而另一人则完全说误了．你知道三人中谁是只对了一半的吗？【例3】某校数学竞赛，A，B，C，D，E，F，G，H八位同学获得前八名．老师让他们猜一下谁是第一名．A说：“或者F是第一名，或者H是第一名．”B说：“我是第一名．”C说：“G是第一名．”D说：“B不是第一名．”E说：“A说得不对