立体几何四个公理

第二节空间图形的基本关系与公理A组1．以下四个命题中，正确命题的个数是________．①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．解析：①正确，可以用反证法证明；②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．答案：12．给出下列四个命题：①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．其中真命题的个数为________．解析：根据平面的基本性质知③正确．答案：13．(2009年高考湖南卷改编)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为________．解析：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合条件．答案：54．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点．那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是________．解析：边长是正方体棱长的22倍的正六边形．答案：正六边形5．(原创题)已知直线m、n及平面α，其中m∥n，那么平面α内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：(1)一条直线；(2)一个平面；(3)一个点；(4)空集．其中正确的是________．解析：如图1，当直线m或直线n在平面α内且m、n所在平面与α垂直时不可能有符合题意的点；如图2，直线m、n到已知平面α的距离相等且两直线所在平面与已知平面α垂直，则已知平面α为符合题意的点；如图3，直线m、n所在平面与已知平面α平行，则符合题意的点为一条直线．答案：(1)(2)(4)6．如图，已知平面α、β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两腰，∴AB，CD必定相交于一点．如图，设AB∩CD=M.又∵AB⊂α，CD⊂β，∴M∈α，且M∈β，∴M∈α∩β.又∵α∩β=l，∴M∈l，即AB，CD，l共点B组1．有以下三个命题：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；③若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交，其中所有正确命题的序号是______________．解析：表示线与面的关系用“⊂”或“⊄”表示，故②错误．答案：①③2．(2010年黄冈调研)下列命题中正确的是________．①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P、Q、R，则P、Q、R三点共线；②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面．解析：在①中，因为P、Q、R三点既在平面ABC上，又在平面α上，所以这三点必在平面ABC与α的交线上，即P、Q、R三点共线，故①正确；在②中，因为a∥b，所以a与b确定一个平面α，而l上有A、B两点在该平面上，所以l⊂α，即a、b、l三线共面于α；同理a、c、l三线也共面，不妨设为β，而α、β有两条公共的直线a、l，∴α与β重合，即这些直线共面，故②正确；在③中，不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定7个平面，故③错．答案：①②3．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点②三条直线两两平行③三条直线共点④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交其中使三条直线共面的充分条件有：________.解析：易知①中的三条直线一定共面，④中两条直线平行可确定一个平面，第三条直线和这两条直线相交于两点，则第三条直线也在这个平面内，故三条直线共面．答案：①④4．(2008年高考浙江卷改编)对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得________．①a⊂α，b⊂α②a⊂α，b∥α③a⊥α，b⊥α④a⊂α，b⊥α解析：不相交的直线a、b的位置有两种：平行或异面．当a、b异面时，不存在平面α满足①、③；又只有当a⊥b时④才成立．答案：②5．正方体AC1中，E、F分别是线段C1D、BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是________．解析：直线AB与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．答案：相交6．(2010年湖南郴州调研)设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；③若l上有两点到α的距离相等，则l∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β.其中正确命题的序号是________．解析：①错误，l可能在平面α内；②正确，l∥β，l⊂γ，β∩γ＝n⇒l∥n⇒n⊥α，则α⊥β；③错误，直线可能与平面相交；④正确．故填②④.答案：②④7．(2009年高考广东卷改编)给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是________．解析：当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的判定定理可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．答案：②④8．(2009年高考宁夏、海南卷改编)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝22，则下列结论中错误的是________．①AC⊥BE②EF∥平面ABCD③三棱锥A－BEF的体积为定值④异面直线AE，BF所成的角为定值解析：∵AC⊥平面BB1D1D，又BE⊂平面BB1D1D，∴AC⊥BE.故①正确．∵B1D1∥平面ABCD，又E、F在直线D1B1上运动，∴EF∥平面ABCD.故②正确．③中由于点B到直线B1D1的距离不变，故△BEF的面积为定值．又点A到平面BEF的距离为22，故VA－BEF为定值．当点E在D1处，F为D1B1的中点时，建立空间直角坐标系，如图所示，可得A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(1,0,1)，F12，12，1.∴AE→＝(0，－1,1)，BF→＝(12，－12，1)，∴AE→·BF→＝32.又|AE→|＝2，|BF→|＝62，∴cos〈AE→，BF→〉＝322·62＝32，∴AE与BF成30°角．当E为D1B1中点，F在B1处时，此时E12，12，1，F(0,1,1)，∴AE→＝－12，－12，1，BF→＝(0,0,1)，∴AE→·BF→＝1，|AE→|＝32，∴cos〈AE→，BF→〉＝23＝63≠32.故④错．答案：④9.(2008年高考陕西卷改编)如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，A、B到l的距离分别是a和b，AB与α、β所成的角分别是θ和φ，AB在α、β内的射影分别是m和n.若a＞b，则θ与φ的大小关系为______，m与n的大小关系为______.解析：AB与β成的角为∠ABC＝φ，AB与α成的角为∠BAD＝θ，sinφ＝sin∠ABC＝a|AB|，sinθ＝sin∠BAD＝b|AB|.∵ab，∴sinφsinθ.∴θφ.AB在α内的射影AD＝AB2－b2，AB在β内的射影BC＝AB2－a2，∴AD.BC，即mn.答案：θ＜φm＞n10．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，若A1C交平面DBFE于R点，试确定R点的位置．解：在正方体AC1中，连结PQ，∵Q∈A1C1，∴Q∈平面A1C1CA.又Q∈EF，∴Q∈平面BDEF，即Q是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点，同理，P也是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点．∴平面A1C1CA∩平面BDEF＝PQ.又A1C∩平面BDEF＝R，∴R∈A1C，∴R∈平面A1C1CA，R∈平面BDEF.∴R是A1C与PQ的交点．如图．11．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为AB的中点，N为BB1的中点，O为平面BCC1B1的中心．(1)过O作一直线与AN交于P，与CM交于Q(只写作法，不必证明)；(2)求PQ的长．解：(1)连结ON，由ON∥AD知，AD与ON确定一个平面α.又O、C、M三点确定一个平面β(如图所示)．∵三个平面α，β和ABCD两两相交，有三条交线OP、CM、DA，其中交线DA与交线CM不平行且共面．∴DA与CM必相交，记交点为Q，∴OQ是α与β的交线．连结OQ与AN交于P，与CM交于Q，故直线OPQ即为所求作的直线．(2)在Rt△APQ中，易知AQ＝1，又易知△APQ∽△OPN，∴APPN＝AQNO＝2，AN＝52，∴AP＝53，∴PQ＝AQ2＋AP2＝143.12．(2008年高考四川卷)如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四90°，BC綊边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝12AD，BE綊12FA，G、H分别为FA、FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？(3)设AB＝BE，证明：平面ADE⊥平面CDE.解：(1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，所以GH綊12AD.又BC綊12AD，故GH綊BC.所以四边形BCHG是平行四边形．(2)C、D、F、E四点共面．理由如下：由BE綊12AF，G是FA的中点知，BE綊GF，所以EF∥BG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面．又点D在直线FH上，所以C、D、F、E四点共面．(3)证明：连结EG.由AB＝BE，BE綊AG及∠BAG＝90°知ABEG是正方形，故BG⊥EA.由题设知，FA、AD、AB两两垂直，故AD⊥平面FABE，因此EA是ED在平面FABE内的射影．根据三垂线定理，BG⊥ED.又ED∩EA＝E，所以BG⊥平面ADE.由(1)知，CH∥BG，所以CH⊥平面ADE.由(2)知F∈平面CDE，故CH⊂平面CDE，得平面ADE⊥平面CDE.