2.1.2离散型随机变量的分布列课件-副本

【课标要求】2.1.2离散型随机变量的分布列理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念．认识分布列对于刻画随机现象的重要性．掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质．通过实例(如彩票抽奖)，理解两点分布和超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用．1．2．3．离散型随机变量及其分布列的概念．(重点)离散型随机变量分布列的表示方法和性质．(重点)两点分布与超几何分布的概念及应用．(难点)【核心扫描】1．2．3．离散型随机变量的分布列(1)定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：自学导引1．Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn想一想：如何求离散型随机变量在某一范围内的概率．提示离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．两个特殊分布列(1)两点分布列若随机变量X的分布列为此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的_______．(2)性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②i＝1npi＝__．分布列12．X01P1－pp则称该分布列为_____分布列．若随机变量X的分布列为_____分布列，就称X服从_____分布，称p＝P(X＝1)为_____概率．(2)超几何分布列一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有k件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，则称分布列两点两点两点成功X01…mP________________…________C0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnNCmMCn－mN－MCnN为超几何分布列，随机变量X服从超几何分布．试一试：只取两个不同值的随机变量一定服从两点分布吗？举例说明．提示只取两个不同值的随机变量并不一定服从两点分布．例如：随机变量X的分布列如下：X25P0.30.7则X不服从两点分布，因为X的取值不是0或1.求离散型随机变量的分布列的步骤(1)找出随机变量ξ的所有可能的取值xi(i＝1，2，…)；(2)求出取每一个值的概率P(ξ＝xi)＝pi；(3)列出表格．求离散型随机变量分布列时应注意以下几点(1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率．对于随机变量ξ取值较多或无穷多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程．(2)在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确．名师点睛1．2．两点分布与超几何分布(1)两点分布又称为0～1分布或伯努利分布，它反映了随机试验的结果只有两种可能，如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；一次投篮是否命中等．在两点分布中，随机变量的取值必须是0和1，否则就不是两点分布．(2)超几何分布列给出了一类用数字模型解决的问题，对该类问题直接套用公式即可．但在解决相关问题时，首先确定随机变量X是否服从超几何分布．3．题型一求离散型随机变量的分布列袋中装有编号为1～6的同样大小的6个球，现从袋中随机取3个球，设ξ表示取出3个球中的最大号码，求ξ的分布列．[思路探索]确定随机变量ξ的所有可能取值，分别求出ξ取各值的概率．【例1】解根据题意，随机变量ξ的所有可能取值为3，4，5，6.ξ＝3，即取出的3个球中最大号码为3，其他2个球的号码为1，2，所以，P(ξ＝3)＝C22C36＝120；ξ＝4，即取出的3个球中最大号码为4，其他2个球只能在号码为1，2，3的3个球中取，所以，P(ξ＝4)＝C23C36＝320；ξ＝5，即取出的3个球中最大号码为5，其他2个球可以在号码为1，2，3，4的4个球中取，所以，P(ξ＝5)＝C24C36＝310；ξ＝6，即取出的3个球中最大号码为6，其他2个球可以在号码为1，2，3，4，5的5个球中取，所以，P(ξ＝6)＝C25C36＝12.所以，随机变量ξ的分布列为ξ3456P12032031012规律方法求离散型随机变量的分布列关键有三点：(1)随机变量的取值；(2)每一个取值所对应的概率；(3)所有概率和是否为1来检验．从集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集中，等可能地取出一个．记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列．【变式1】解依据题意，ξ的所有可能值为1，2，3，4，5.又P(ξ＝1)＝C1531＝531，P(ξ＝2)＝C2531＝1031，P(ξ＝3)＝C3531＝1031，P(ξ＝4)＝C4531＝531，P(ξ＝5)＝C5531＝131.故ξ的分布列为ξ12345P53110311031531131[思路探索]已知随机变量X的分布列，根据分布列的性质确定a及相应区间的概率．题型二分布列的性质及应用【例2】设随机变量X的分布列PX＝k5＝ak(k＝1，2，3，4，5)．(1)求常数a的值；(2)求PX≥35；(3)求P110＜X＜710.解由题意，所给分布列为XPa2a3a4a5a1525354555(1)由分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝115.(2)PX≥35＝PX＝35＋PX＝45＋PX＝55＝315＋415＋515＝45，或PX≥35＝1－PX≤25＝1－115＋215＝45.(3)∵110＜X＜710，∴X＝15，25，35.∴P110＜X＜710＝PX＝15＋PX＝25＋PX＝35＝115＋215＋315＝25.规律方法(1)离散型随机变量的特征是能一一列出，且每一个值各代表一个试验结果，所以研究随机变量时，关键是随机变量能取哪些值．(2)在求概率pi时，要充分运用分布列的性质，即可减少运算量，又可验证所求的分布列是否正确．(3)一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．已知随机变量X只能取三个值x1，x2，x3，其概率值依次成等差数列，求公差d的取值范围．解设分布列为【变式2】Xx1x2x3Pa－daa＋d则a－d＋a＋a＋d＝1，∴a＝13.由分布列性质，得a－d≥0，a＋d≥0.∴－13≤d≤13.所以公差d的取值范围是－13，13.在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的分布列．题型三超几何分布【例3】X01P[规范解答](1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．(1分)P(X＝1)＝C14C110＝410＝25，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－25＝35.(3分)因此X的分布列为3525(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P＝C14C16＋C24C06C210＝3045＝23.(6分)②X的所有可能取值为0，10，20，50，60，且P(Y＝0)＝C04C26C210＝1545＝13，P(Y＝10)＝C13C16C210＝1845＝25，P(Y＝20)＝C23C06C210＝345＝115，P(Y＝50)＝C11C16C210＝645＝215，P(Y＝60)＝C11C13C210＝345＝115.(10分)因此随机变量Y的分布列为Y010205060P1325115215115(12分)【题后反思】解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．(2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．(2019·南昌高二检测)从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列．【变式3】解(1)所选3人中恰有一名男生的概率P＝C25C14C39＝1021.(2)ξ的可能取值为0，1，2，3.P(ξ＝0)＝C35C39＝542，P(ξ＝1)＝C25C14C39＝1021，P(ξ＝2)＝C15C24C39＝514，P(ξ＝3)＝C34C39＝121.∴ξ的分布列为：ξ0123P5421021514121方程思想是解决概率问题中的重要思想，尤其在求离散型随机变量的分布列时，经常用到各项概率和为1这一重要性质，有了这一性质，我们就可以列出方程，求出相应的量，这一点在两点分布中尤为明显．若离散型随机变量ξ的分布列为方法技巧方程思想在分布列中的应用【示例】ξ01P9a2－a3－8a求常数a及相应的分布列．[思路分析]利用分布列的性质求解．解由离散型随机变量的性质可得9a2－a＋3－8a＝1，0≤9a2－a≤1，0≤3－8a≤1.解得a＝13或a＝23(舍去)．随机变量ξ的分布列为ξ01P2313方法点评解决此类问题，主要是通过离散型随机变量的分布列的性质即：(1)pi≥0，i＝1，2，3，…，n；(2)i＝1npi＝1列出方程或不等式求出未知数的值．另外，利用分布列的性质还可以确定离散型随机变量的分布列中未知的概率的数值．