3-4欧式空间的同构----正交变换

§9.4正交变换一、欧氏空间的同构§9.3同构二、同构的基本性质§9.4正交变换一、欧氏空间的同构定义：实数域R上欧氏空间V与V'称为同构的，如果由V到V'有一个双射,满足,,VkR1)()()(),2)()(),kk3)(),()(,),这样的映射称为欧氏空间V到V'的同构映射.§9.4正交变换1、若是欧氏空间V到V'的同构映射，则也是线性空间V到V'同构映射.2、如果是有限维欧氏空间V到V'的同构映射，则'dimdim.VV3、任一维欧氏空间V必与同构.nnR二、同构的基本性质§9.4正交变换标准正交基，证：设V为维欧氏空间，为V的一组12,,,nn在这组基下，V中每个向量可表成1122,nnixxxxR作对应12:,()(,,,)nnVRxxx易证是V到的双射.nR且满足同构定义中条件1）、2）、3），故为由V到的同构映射，从而V与同构.nRnR§9.4正交变换①反身性；②对称性；③传递性.4、同构作为欧氏空间之间的关系具有：①单位变换是欧氏空间V到自身的同构映射.VI②若欧氏空间V到V'的同构映射是，则是1其次，对有',,V(,)事实上，首先是线性空间的同构映射.欧氏空间V'到V的同构映射.11(()),(())11(),()为欧氏空间V'到V的同构映射.1§9.4正交变换③若分别是欧氏空间V到V'、V'到V的同构映射，,则是欧氏空间V到V的同构映射.事实上，首先，是线性空间V到V的同构映射.(),()(),()其次，对有,,V(()),(())(,)为欧氏空间V到V的同构映射.§9.4正交变换5、两个有限维欧氏空间V与V'同构'dimdim.VV3两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们的维定理数相同.§9.4正交变换一、一般欧氏空间中的正交变换§9.4正交变换二、n维欧氏空间中的正交变换§9.4正交变换一、一般欧氏空间中的正交变换1.定义即，(),()(,),,V欧氏空间V的线性变换如果保持向量的内积不变，则称为正交变换.注：欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度不变的正交变换的推广.§9.4正交变换2.欧氏空间中的正交变换的刻划下述命题是等价的：（定理4）设是欧氏空间V的一个线性变换.(),(),,,ddV3）保持向量间的距离不变，即2）保持向量长度不变，即1）是正交变换；(),;V§9.4正交变换证明：首先证明1)与2)等价．1)2):即，22()(),()(,),V两边开方得，(),,V若是正交变换，则2)1):有，(),()(,),(1)(),()(,),(2)若保持向量长度不变，则对,V§9.4正交变换把(3)展开得，(),()2(),()(),()(,)2(,)(,)再由(1)(2)即得，(),()(,)(),()(,),(3)是正交变换．§9.4正交变换再证明2)与3)等价．3)2):2)3):()()(),根据２)(),()()()d()(,)d故3）成立.(),(),,,ddV若则有，(),(0),0,ddV即，(),.V故2）成立.§9.4正交变换二、n维欧氏空间中的正交变换1.维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基n不变的线性变换．是V的标准正交基，则也是V12(),(),,()n的标准正交基.1).若是维欧氏空间V的正交变换，n12,,,n事实上，由正交变换的定义及标准正交基的性质1(),()(,)0ijijijij即有，§9.4正交变换2).若线性变换使V的标准正交基变成12,,,n变换．标准正交基，则为V的正交12(),(),,()n1122nnxxx1122,nnyyy证明：任取设,,V由为标准正交基，有12,,,n1(,)niiixy§9.4正交变换1(),()niiixy故是正交变换．1()()njjjy1()(),niiix又(),()(,)由于为标准正交基，得12(),(),,()n§9.4正交变换2.维欧氏空间V中的线性变换是正交变换n在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵．设为V的标准正交基，且12,,,n1212,,,,,,nn12,,,nA证明：的标准正交基，当是正交变换时，由1知，也是V12,,,n而由标准正交基到标准12,,,n正交基的过渡矩阵是正交矩阵.12,,,n§9.4正交变换设为V的标准正交基，且12,,,n1212,,,,,,nnA再由1即得为正交变换．由于当A是正交矩阵时，也是V的12,,,n1212,,,,,,nnA即，标准正交基，所以，A是正交矩阵．§9.4正交变换3.欧氏空间V的正交变换是V到自身的同构映射．因而有1）正交变换的逆变换是正交变换；（由同构的对称性可得之）2）正交变换的乘积还是正交变换．（由同构的传递性可得之）§9.4正交变换4.维欧氏空间中正交变换的分类：n设维欧氏空间V中的线性变换在标准正交基n1）如果则称为第一类的（旋转）;1,A2）如果则称为第二类的．1,A下的矩阵是正交矩阵A，则12,,,n1.A§9.4正交变换例、在欧氏空间中任取一组标准正交基12,,,,n定义线性变换为：11,2,3,.iiin则为第二类的正交变换，也称之为镜面反射．