反函数知识点总结材料讲义教案设计

实用文档文案大全班级：一对一所授年级+科目：高一数学授课教师：课次：第次学生：上课时间：教学目标理解反函数的意义，会求函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象之间的关系，会利用反函数的性质解决一些问题．教学重难点反函数的求法，反函数与原函数的关系．反函数知识点总结教案【知识整理】一．函数的定义如果在某个变化过程中有两个变量x和y,并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则,y都有唯一确定的值和它对应,那么y就是x的函数，x就叫做自变量，x的取值范围D称为函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合A叫做函数的值域，记为：)(xfyx∈D.二．反函数定义一般地，函数)(xfy(x∈D),设它的值域为A,我们根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，得到)(yx,如果对于y在A中的任何一个值，通过)(yx,x在D中都有唯一的值和它对应，那么，)(yx就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数)(yx（y∈A)叫做函数)(xfy(x∈D)的反函数.记作：)(1yfx反函数)(1yfx中，x为因变量，y为自变量，为和习惯一致，将x,y互换得：)(1xfy(x∈A).注：并非所有的函数都有反函数.反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；三．主要方法：1．求反函数的方法步骤：①求出原函数的值域，即求出反函数的定义域；②由)(xfy反解出)(1yfx(把x用y表示出来)；③将x,y互换得：)(1xfy，并写出反函数的定义域2．分段函数的反函数的求法：逐段求出每段的反函数及反函数的定义域，再合成分段函数.3．原函数与反函数的联系反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若()yfx与1()yfx互为反函实用文档文案大全数，函数()yfx的定义域为D、值域为A，则1[()]()ffxxxA，1[()]()ffxxxD；函数反函数定义域DA值域AD4.互为反函数的函数图象间的关系一般地，函数)(xfy的图像和它的反函数)(1xfy的图像关于直线y=x对称，其增减性相同.释意：如果点(a,b)在函数)(xfy的图像上，那么点(b,a)必然在它的反函数)(1xfy的图像上。换言之，如果函数)(xfy的图像上有点(a,b)，那么它的反函数)(1xfy的图像上必然有点(b,a).1．求下列函数的反函数：（1）2()(1)fxxxx；（2）221(01)(){(10)xxfxxx.解：（1）由2(1)yxxx得2211()(1)24yxx，∴211(0)24xyy，∴所求函数的反函数为211(0)24yxx．（2）当01x时，得1(10)xyy，当10x时，得(01)xyy，∴所求函数的反函数为1(10)(01)xxyxx．2．函数11(,)1axyxxRaxa的图象关于yx对称，求a的值．解：由11(,)1axyxxRaxa得1(1)(1)yxyay，∴11()(1)(1)xfxxax，由题知：1()()fxfx，11(1)1xaxaxax，∴1a．)(xfy)(1xfy实用文档文案大全3．若(2,1)既在()fxmxn的图象上，又在它反函数图象上，求,mn的值．解：∵(2,1)既在()fxmxn的图象上，又在它反函数图象上，∴(1)2(2)1ff，∴221mnmn，∴37mn．4．设函数xxxf121)(，又函数)(xg与1(1)yfx的图象关于yx对称，求)2(g的值．解法一：由121xyx得12yxy，∴11()2xfxx，1(1)3xfxx，∴)(xg与3xyx互为反函数，由23xx，得(2)2g．解法二：由1(1)yfx得()1xfy，∴()()1gxfx，∴(2)(2)12gf．5．已知函数()yfx（定义域为A、值域为B）有反函数1()yfx，则方程()0fx有解xa，且()()fxxxA的充要条件是1()yfx满足11()()(0)fxxxBfa且．6．已知21()()21xxafxaR，是R上的奇函数．（1）求a的值；（2）求()fx的反函数；（3）对任意的(0,)k解不等式121()logxfxk．解：（1）由题知(0)0f，得1a，此时21212112()()021212112xxxxxxxxfxfx，即()fx为奇函数．（2）∵21212121xxxy，得12(11)1xyyy，∴121()log(11)1xfxxx．（3）∵121()logxfxk，∴11111xxxkx，∴111xkx，①当02k时，原不等式的解集{|11}xkx，实用文档文案大全②当2k时，原不等式的解集{|11}xx．7.已知函数13)(xxf的反函数)(1xfy，)13(log)(9xxg（１）若)()(1xgxf，求x的取值范围D；（２）设函数)(21)()(1xfxgxH，当Dx时，求)(xH的值域.解：∵13)(xxf，∴)1(log)(31xxf．（１）∵)()(1xgxf即)13(log)1(log93xx∴)13(log)1(log929xx，∴2(1)31,10.xxx解之得10x∴1,0Dx．（２）∵)(21)()(1xfxgxH)1(log21)13(log39xx)1(log)13(log99xx113log9xx．1,0x令123113xxxt，显然在[0，1]递增，则有21t．∴2log)(09xH，即)(xH的值域为}2log0{9yy．8.已知函数在其定义域内是减函数，且存在反函数，求证：的反函数在它的定义域内也是减函数（是的值域）．证明：∵在其定义域内是减函数，∴设，且，有．令，有，且．∵函数在上存在反函数，∴．由题意，，且，∴在定义域内是减函数．)(xfyD)(xfy)(1xfyEE)(xfy)(xfyDDxx21,21xx)()(21xfxf)(),(2211xfyxfyEyy21,21yy)(xfyDExxfy),(1)(),(212111yfxyfx)()(21112121yfyfxxyyEyy21,)(1xfyE实用文档文案大全9.已知函数21()(),1.1xfxxx（1）求()fx的反函数1()fx；（2）判定1()fx在其定义域内的单调性；（3）若不等式1(1)()()xfxaax对11[,]164x恒成立，求实数a的取值范围.解：（1）由y=（11xx）2，得x=yy11.又y=（1－12x）2，且x＞1，∴0＜y＜1∴f－1（x）=xx11（0＜x＜1）.（2）设0＜x1＜x2＜1，则1x－2x＜0，1－1x＞0，1－2x＞0.∴f－1（x1）－f－1（x2）=)1)(1()(22121xxxx＜0，即f－1（x1）＜f－1（x2）.∴f－1（x）在（0，1）上是增函数.（3）由题设有（1－x）xx11＞a（a－x）.∴1+x＞a2－ax，即（1+a）x+1－a2＞0对x∈［161，41］恒成立.显然a≠－1.令t=x，∵x∈［161，41］，∴t∈［41，21］.则g（t）=（1+a）t+1－a2＞0对t∈［41，21］恒成立.由于g（t）=（1+a）t+1－a2是关于t的一次函数，∴g（41）＞0且g（21）＞0，即,01)1(21,01)1(4122aaaa解得－1＜a＜45．【反馈练习】1函数223yxax在区间[1,2]上存在反函数的充要条件是（D）A、,1aB、2,aC、[1,2]aD、,1a2,2函数)1(12xyx的反函数是（A）A．)3,1(),1(log2xxyB．)3,1(,log12xxy实用文档文案大全C．]3,1(),1(log2xxyD．]3,1(,log12xxy3若函数)(xf是函数10222xxy的反函数，则)(xf的图象为（B）ABCD4若函数)(xfy的图象经过第三、四象限，且存在反函数，则函数)(1xfy的图象经过(B)（A）第一、二象限（B）第二、三象限（C）第三、四象限（Ｄ）第一、四象限5设0,1aa，函数logayx的反函数和1logayx的反函数的图象关于（B）()Ax轴对称()By轴对称()Cyx轴对称()D原点对称6已知函数()ln1(0)fxxx，则()fx的反函数为(B)（A）1()xyexR（B）1()xyexR（C）1(1)xyex（D）1(1)xyex7设1fx是函数112xxfxaaa的反函数，则使11fx成立的x的取值范围为（A）A、21(,)2aaB、21(,)2aaC、21(,)2aaaD、(,)a解:1a时，fx单调增函数，所以21111112afxffxfxfa。8设函数f（x）是函数g（x）=x21的反函数，则f（4－x2）的单调递增区间为（C）A.［0，+∞）B.（－∞，0］C.［0，2）D.（－2，0］．解：f（4－x2）=－log2（4－x2）,x∈（－2，0］时，4－x2单调递增；x∈［0，2）时，4－x2单调递减.9已知函数baxfx)(的图象过点（１，７），又其反函数的图象经过点（４，０），则)(xf的表达式为_____________.)(xf=43x10关于反函数有下列命题：①二次函数一定有反函数；②反比例函数一定有反函数；③若函数与其反函数有公共点，则该点一定在直线上；④单调函数在其单调区间上一定有反函数．以上命题，正确的命题的序号是____②④______.11已知函数31,13aaxaxxy的反函数就是它本身，那么a___.-3)(xfy)(1xfyxyxxxxyyyyOOOO实用文档文案大全12若函数fx存在反函数1fx，且方程fxxa、方程1fxxa分别有唯一实根1x、2x，则12xx=_________。（a为常数）a13已知函数y=f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=3x－1，设f（x）的反函数是y=g（x），则g（－8）=______________解：当x＞0时，－x＜0，f（－x）=13x.又∵f（x）是奇函数，∴f（－x）=－f（x），即－f（x）=13x.∴f（x）=x31∴f（x）=xx3113.0,0xx∴f－1（x）=.0)1(log,0)1(log33xxxx∴f－1（－8）=g（－8）=－log3（1+8）=－log332=－2.14求函数的反函数：32331yxxx.解：由32331yxxx得3(1)2yx，∴312()xyyR，∴所求反函数为13()12()fxxxR．15设函数xxxf121)(，又函数)(xg与1(1)yfx的图象关于yx对称，求)2(g的值.解法一：由121xyx得12yxy，∴11()2xfxx