36488-《定积分的概念》教案2

§1.5.3定积分的概念（2课时）教学目标：⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；⒉借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．3．理解掌握定积分的几何意义；教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义．教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．教学过程：一．创设情景复习：1．回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：分割→以直代曲→求和→取极限（逼近2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．二．新课讲授1．定积分的概念一般地，设函数()fx在区间[,]ab上连续，用分点将区间[,]ab等分成n个小区间，每个小区间长度为x（baxn），在每个小区间1,iixx上取一点1,2,,iin，作和式：11()()nnniiiibaSfxfn如果x无限接近于0（亦即n）时，上述和式nS无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数()fx在区间[,]ab上的定积分。记为：()baSfxdx其中()fx成为被积函数，x叫做积分变量，[,]ab为积分区间，b积分上限，a积分下限。说明：（1）定积分()bafxdx是一个常数，即nS无限趋近的常数S（n时）称为()bafxdx，而不是nS．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n等分区间,ab；②近似代替：取点1,iiixx；③求和：1()niibafn；④取极限：1()limnbianibafxdxfn（3）曲边图形面积：baSfxdx；变速运动路程21()ttSvtdt；变力做功()baWFrdr2．定积分的几何意义说明：一般情况下，定积分()bafxdx的几何意义是介于x轴、函数()fx的图形以及直线,xaxb之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）．分析：一般的，设被积函数()yfx，若()yfx在[,]ab上可取负值。考察和式12()infxxfxxfxxfxx不妨设1(),(),,()0iinfxfxfx于是和式即为121(){[()][]}iinfxxfxxfxxfxxfxx()bafxdx阴影A的面积—阴影B的面积（即x轴上方面积减x轴下方的面积）2．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1abdxba1性质2babadxxfkdxxkf)()(（其中k是不为0的常数）（定积分的线性性质）性质31212[()()]()()bbbaaafxfxdxfxdxfxdx（定积分的线性性质）性质4()()()()bcbaacfxdxfxdxfxdxacb其中（定积分对积分区间的可加性）说明：①推广：1212[()()()]()()()bbbbmmaaaafxfxfxdxfxdxfxdxfx②推广:121()()()()kbccbaaccfxdxfxdxfxdxfxdx③性质解释：PCNMBAabOyxy=1yxOba三．典例分析例1．计算定积分21(1)xdx分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为52。即：215(1)2xdx思考：若改为计算定积分22(1)xdx呢？改变了积分上、下限，被积函数在[2,2]上出现性质1性质412yxo了负值如何解决呢？（后面解决的问题）四．课堂练习计算下列定积分1．50(24)xdx50(24)945xdx2．11xdx11111111122xdx5．课本练习五．回顾总结1．定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义．六．布置作业